Question

電磁爐專用平底鍋和鍋壁均由耐高溫絕緣材料制成，起到加熱作用的是安在鍋底的一系列半徑不同的同心導電環(huán)（如右圖所示），導電環(huán)所用的材料每米的電阻為0.125πΩ，從中心向外第n個同心圓環(huán)的半徑為r_n=（2n-1）r₁ （n=1，2，3，4，5，6，7），已知r₁=1.0cm．當電磁爐開啟后，能夠產(chǎn)生垂直于鍋底方向的變化磁場，該磁場的磁感應(yīng)強度B隨時間的變化率為

△B

△t

=100

2

πsinωt T/s，求：
（1）半徑為r₁的導電圓環(huán)中感應(yīng)電流的最大值是多少？
（2）假設(shè)導電圓環(huán)產(chǎn)生的熱全部以波長為1.0×10^-6m的紅外線光子輻射出來，那么半徑為r₁的導電圓環(huán)上每分鐘輻射出的光子數(shù)是多少？
（3）若不計其它損失，所有導電圓環(huán)釋放的總功率P是多少？
（以上計算中可取π²=10，h=6.6×10^-34J?s）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出第n環(huán)中感應(yīng)電動勢的最大值，由歐姆定律求第n環(huán)中感應(yīng)電流的最大值，再得到第1環(huán)的電流最大值．
（2）由題，電能全部轉(zhuǎn)化為光能，根據(jù)能量守恒列式求光子數(shù)．光子的能量E=

hc

λ

．
（3）半徑為r₁環(huán)的功率P₁為 P₁=I₁²R₁，根據(jù)功率公式得到半徑為r_n環(huán)的功率P_n=I_n²R_n，再求總功率P．

解答：解：（1）設(shè)感應(yīng)電動勢為 E，感應(yīng)電動勢最大值為 E_max
由法拉第電磁感應(yīng)定律可得  E=

△φ

△t

=

△B

△t

S=100

2

πsinωt?S    
則第n環(huán)中感應(yīng)電動勢最大值  E _max=100

2

π?πr_n²
代入數(shù)據(jù)解得  E_max=10³

2

 r_n²                        
第n環(huán)的電阻為  R_n=0.125π?2πr_n=2.5r_n                    
第n環(huán)的電流最大值為 I_max=

Emax

rn

=400

2

 r_n
代入數(shù)據(jù)解得，第1 環(huán)的電流最大值為 I_1max=400

2

×10^-2A=4

2

A 
（2）設(shè)半徑為r₁導電圓環(huán)上每分鐘輻射的光子數(shù)為 N，電能全部轉(zhuǎn)化為光能．
  I₁²R₁t₁=N 

hc

λ

      ①
 I ₁=

2

2

I_1max=4A   ②
由①、②可得 N=1.2×10²⁰                                 
（3）半徑為r₁環(huán)的功率P₁為 P₁=I₁²R₁=0.4w                             
半徑為r_n環(huán)的功率P_n，則 P_n=I_n²R_n=（

Imax

2

r_n）²×2.5r_n=400²×2.5r_n³=（2n-1）³P₁  
7個導電圓環(huán)釋放的總功率P
  P=P₁+P₂+P₃+P₄+P₅+P₆+P₇=1.9×10³W            
答：
（1）半徑為r₁的導電圓環(huán)中感應(yīng)電流的最大值是4

2

A．
（2）半徑為r₁的導電圓環(huán)上每分鐘輻射出的光子數(shù)是1.2×10²⁰．
（3）若不計其它損失，所有導電圓環(huán)釋放的總功率P是1.9×10³W．

點評：本題關(guān)鍵是根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律得到感應(yīng)電流的通項，再求特殊值，按一般到特殊的思路進行求解．