Question

17．如圖所示，長(zhǎng)L=4m水平傳送帶以vo=6m/s的速度順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，左側(cè)有一半徑為R₁=0.8m的$\frac{1}{4}$光滑圓弧，圓弧底部與皮帶在同一水平線上，右側(cè)有一半徑為R₂=0.8m的半圓光滑細(xì)管，圓管上端口下部正好緊鄰皮帶且與皮帶在同一水平線上，光滑水平地面上緊靠管口有一長(zhǎng)度為L(zhǎng)₁=9m、質(zhì)量為M=6kg的木板，木板上端正好與管口底部在同一水平線上，木板的左方有一足夠長(zhǎng)的臺(tái)階，其高度正好與木板相同，木板左側(cè)與臺(tái)階距離為L(zhǎng)₂=lm，當(dāng)木板與臺(tái)階碰撞時(shí)立即被粘住速度變?yōu)榱悖�現(xiàn)將一質(zhì)量為m=2kg的物塊從$\frac{1}{4}$光滑圓弧的頂部A由靜止釋放，已知皮帶與物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為u₁=
0.2，物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)u₂=0.3，物塊與臺(tái)階表面的動(dòng)摩擦因數(shù)也為u₂=0.3，g=l0m/s²，物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，圓管粗細(xì)不計(jì)，試求：
（1）物塊剛滑人圓管頂部C處的速度大��；
（2）物塊滑到圓管底部D處對(duì)底部的壓力；
（3）判斷物塊最終停在何處．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒求出物塊下滑到B點(diǎn)的速度，分析物塊在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)動(dòng)能定理求出物塊剛滑人圓管頂部C處的速度大�。�
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出物塊到達(dá)D處的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出物塊對(duì)底部壓力的大�。�
（3）物塊滑上木板后做勻減速運(yùn)動(dòng)，木板做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求兩者的加速度，由速度時(shí)間公式求出兩者速度所用時(shí)間和共同速度，求出此過(guò)程木板通過(guò)的位移，從而分析兩者速度能否相等．當(dāng)木板被粘住后，木塊繼續(xù)滑行設(shè)滑上臺(tái)階運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理求出物塊在平臺(tái)上滑行的距離，即可求解．

解答 解：（1）物塊下滑到B點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，由機(jī)械能守恒可得：
mgR₁=$\frac{1}{2}$m₁v₁²
代入數(shù)據(jù)解得：v₁=4m/s
因?yàn)関₀=6m/s＞v₁=4m/s，故物塊滑上皮帶后做勻加速運(yùn)動(dòng)，若一直加速由動(dòng)能定理得：
μ₁mgL=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²
代入數(shù)據(jù)解得：v₂=4$\sqrt{2}$m/s＜v₀=6m/s
故物塊一直勻加速，則滑塊以v₂=4$\sqrt{2}$m/s滑入管口．
（2）由C點(diǎn)到D點(diǎn)由機(jī)械能守恒定律可得：
$\frac{1}{2}$mv₂²+mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₃²；
在D處，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：F_N-mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=180N
由牛頓第三運(yùn)動(dòng)定律可得：F_N′=F_N=180N
（3）物塊滑上木板后最終共速為v₄，由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律：
μ₂mg=ma₁； 
μ₂mg=Ma₂；     
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可得：
v₃-a₁t=a₂t
可得共速速度 v₄=a₂t=2m/s，水平向左  
此過(guò)程物塊運(yùn)動(dòng)的位移為x₁，木板運(yùn)動(dòng)的位移為x₂，由動(dòng)能定理得：
對(duì)物塊有：μ₂mgx₁=$\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
對(duì)木板有：μ₂mgx₂=$\frac{1}{2}M{v}_{4}^{2}$
解得：x₁=10m，x₂=2m
由于x₁-x₂=8m＜L₁，兩者共速需要木板運(yùn)動(dòng)x₂=2m＞L₂．因此物塊與木板不能共速．
當(dāng)木板被粘住后，木塊繼續(xù)滑行設(shè)滑上臺(tái)階運(yùn)動(dòng)x₃后停止
由動(dòng)能定理得：μ₂mg（L₁+L₂+x₃）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
解得：x₃=$\frac{2}{3}$m，即離臺(tái)階右側(cè)E點(diǎn)為$\frac{2}{3}$m處停下．
答：（1）物塊剛滑人圓管頂部C處的速度大小是4$\sqrt{2}$m/s；
（2）物塊滑到圓管底部D處對(duì)底部的壓力是180N；
（3）物塊最終在離臺(tái)階右側(cè)E點(diǎn)為$\frac{2}{3}$m處停下．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要正確分析物塊的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握每個(gè)過(guò)程所遵守的物理規(guī)律，明確物塊與木板速度相同這一臨界狀態(tài)，邊計(jì)算邊分析判斷．