Question

我國北方地區(qū)近年來遭遇嚴重的沙塵暴天氣，現(xiàn)把沙塵上揚后的情況簡化為如下情景：v為豎直向上的風速，沙塵顆粒被揚起后懸浮在空中（不動），這時風對沙塵的作用力相當于空氣不動而沙塵以速度v豎直向下運動時所受的阻力．此阻力可用下式表達f=aρAv²其中a為一系數(shù)，A 為沙塵顆粒的截面積，ρ為空氣密度．（球體體積V=πR³）
（1）若沙粒的密度ρ₅，沙塵顆粒為球形，半徑為r，地球表面處空氣密度ρ₀，試估算在地面附近上述v的最小值．
（2）假定空氣密度ρ隨高度h的變化關系為ρ=ρ₀（1-Ch）其中ρ₀為h=0處的空氣密度，C為一常量，試估算當v=v₀、揚沙穩(wěn)定時的最大高度．（不考慮g隨高度的變化）

Answer 1

解：（1）沙粒懸浮在空中，所受阻力與重力平衡，即：
mg=f…①
m=ρ_sV=ρ_sπr³…②
f=aρ₀A=aρ₀πr²…③
v_min=…④
（2）由于高度增加，空氣密度減小，故當速度為 v₀時，隨著沙粒的上升，沙粒所受阻力減小，當沙粒所受阻力與重力平衡時，沙粒懸浮在空中不再上升，此時揚沙高度最大：
mg=f
m=ρ_sV=πr³
f=aρ₀（1-ch_m）A…⑤
得：h_m=（1-）…⑥
答：（1）在地面附近上述v的最小值為．
（2）當v=v₀、揚沙穩(wěn)定時的最大高度為得：（1-）．
分析：（1）在地面附近，沙塵揚起要能懸浮在空中，則空氣阻力至少應與重力平衡．應用平衡條件列式即可．
（2）設出最大高度h，表示出此處空氣密度，再由平衡條件列式計算即可．
點評：本題為一個理論聯(lián)系實際的題目，核心是平衡條件的應用，但關鍵是怎樣把題目中的情景與學習的理論知識聯(lián)系在一起．