Question

8．如圖所示，在xOy坐標(biāo)系中，x軸上方有方向沿x軸正向的勻強(qiáng)電場，下方有一半徑為R的圓形有界勻強(qiáng)磁場，圓心在y軸上，且圓與x軸相切，磁場方向垂直于紙面向外，一質(zhì)量為m，電量為q的帶點(diǎn)粒子在坐標(biāo)為（L，2L）的A點(diǎn)以初速度v₀沿y軸負(fù)方向射入電場，且剛好從O點(diǎn)射入磁場，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后剛好平行于x軸從磁場中射出，求：
（1）電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小；
（2）粒子在電場和磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間；
（3）若該粒子沿y軸負(fù)方向射出時(shí)的初速度大小只有$\frac{1}{2}$v₀，要使該粒子也能從O點(diǎn)進(jìn)入磁場，且經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后剛好平行于x軸從磁場中射出，求該粒子開始射出時(shí)位置的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求解磁感應(yīng)強(qiáng)度；在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，作出運(yùn)動(dòng)軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系得到軌道半徑，然后結(jié)合推論公式r=$\frac{mv}{qB}$求解磁感應(yīng)強(qiáng)度和運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)公式t=$\frac{θ}{2π}T$列式求解在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）要使粒子依然平行x軸射出，則O、磁場區(qū)域的圓心、軌跡圓心、出射點(diǎn)依然應(yīng)該構(gòu)成菱形，故粒子的軌道半徑不變，故進(jìn)入磁場的速度不變；對磁場中運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)平行四邊形定則先求解x和y方向的分速度，然后對第一次和第二次類似平拋過程分別根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式后聯(lián)系確定第二次釋放點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）粒子在電場中做類似平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分位移公式，有：
$L=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}_{1}^{2}$
2L=v₀t₁
解得：
E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$
t₁=$\frac{2L}{{v}_{0}}$
速度偏轉(zhuǎn)角的正切值：
tanα=2tanβ=$2×\frac{L}{2L}=1$
解得：
α=45°
由于$tanα=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
故v_y=v₀
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$
粒子與-y方向成45°進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖：

由于平行x方向射出，故∠ODC=135°，故∠OFC=135°，故可以證明，圖中?ODCF為菱形，故軌道半徑為：
r=R
根據(jù)推論公式r=$\frac{mv}{qB}$，解得：
B=$\frac{mv}{qr}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qR}$
（2）粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：
t₂=$\frac{135°}{360°}$•$\frac{2πr}{v}$=$\frac{3\sqrt{2}R}{{8v}_{0}}$
故粒子在電場和磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：
t=t₁+t₂=$\frac{2L}{{v}_{0}}$+$\frac{3\sqrt{2}R}{{8v}_{0}}$
（3）若該粒子沿y軸負(fù)方向射出時(shí)的初速度大小只有$\frac{1}{2}$v₀，要使該粒子也能從O點(diǎn)進(jìn)入磁場，且經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后剛好平行于x軸從磁場中射出，則O、磁場區(qū)域的圓心、軌跡圓心、出射點(diǎn)依然應(yīng)該構(gòu)成菱形，故粒子的軌道半徑不變，故進(jìn)入磁場的速度不變，仍然為$\sqrt{2}{v}_{0}$；
由于${v}_{y}=\frac{{v}_{0}}{2}$，故${v}_{x}=\sqrt{{v}^{2}-{v}_{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}$
對x方向分運(yùn)動(dòng)，根據(jù)速度位移公式，有：
${v}_{0}^{2}=2aL$ （第一次）
（$\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}$）²=2ax′（第二次）
解得：
x′=$\frac{7}{4}L$
對y方向分運(yùn)動(dòng)，有：
2L=v₀t₁=v₀$\frac{{v}_{0}}{a}$（第一次）
y′=$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{1}^{′}$=$\frac{{v}_{0}}{2}\frac{\frac{\sqrt{7}}{2}{v}_{0}}{a}$（第二次）
解得：
y′=$\frac{\sqrt{7}}{2}L$
故粒子第二次釋放點(diǎn)的坐標(biāo)為：（$\frac{\sqrt{7}}{2}L$，$\frac{7}{4}L$）
答：（1）電場強(qiáng)度的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qR}$；
（2）粒子在電場和磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為$\frac{2L}{{v}_{0}}$+$\frac{3\sqrt{2}R}{{8v}_{0}}$；
（3）第二次該粒子開始射出時(shí)位置的坐標(biāo)為：（$\frac{\sqrt{7}}{2}L$，$\frac{7}{4}L$）．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是明確粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，對于電場中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是根據(jù)類似平拋運(yùn)動(dòng)的分運(yùn)動(dòng)公式列式；對于磁場中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是明確O、磁場區(qū)域的圓心、軌跡圓心、出射點(diǎn)依然應(yīng)該構(gòu)成菱形，結(jié)合幾何關(guān)系和牛頓第二定律列式分析；不難．