Question

2．在真空中，邊長為3L的正方形區(qū)域ABCD分成相等的三部分，左右兩側(cè)為勻強(qiáng)磁場，中間區(qū)域為勻強(qiáng)電場，如圖所示．左側(cè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁=$\frac{\sqrt{6mqU}}{2qL}$，方向垂直紙面向外；右側(cè)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂=$\sqrt{\frac{6mqU}{qL}}$，方向垂直于紙面向里；中間區(qū)域電場方向與正方形區(qū)域的上下邊界平行．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子從平行金屬板的正極板開始由靜止被加速，加速電壓為U，加速后粒子從a點(diǎn)進(jìn)入左側(cè)磁場，又從距正方形上下邊界等間距的b點(diǎn)沿與電場平行的方向進(jìn)入中間區(qū)域的電場中，不計粒子重力，求：
（1）a點(diǎn)到A點(diǎn)的距離；
（2）電場強(qiáng)度E的取值在什么范圍內(nèi)時粒子能從右側(cè)磁場的上邊緣CC₁間離開；
（3）改變中間區(qū)域的電場方向和場強(qiáng)大小，粒子可從D點(diǎn)射出，粒子在左右兩側(cè)磁場中運(yùn)動的總時間是多少．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出粒子經(jīng)加速電場加速后的速度，結(jié)合洛倫茲力提供向心力，通過半徑公式和幾何關(guān)系求出a點(diǎn)到A點(diǎn)的距離；
（2）作出粒子在右側(cè)磁場中沿半徑為R_n和R_m的兩臨界軌道從上邊緣CC₁離開磁場時的軌跡，通過半徑公式、動能定理以及幾何關(guān)系求出電場強(qiáng)度的取值范圍；
（3）作出粒子的運(yùn)動軌跡，根據(jù)周期公式以及粒子在磁場中的圓心角求出粒子在左右兩側(cè)磁場中運(yùn)動的總時間．

解答 解：（1）粒子在金屬板電場加速時
$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$                   ①
粒子在左側(cè)磁場中運(yùn)動時，有
$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$                    ②
$sinα=\frac{L}{{R}_{1}}$                      ③
a到A點(diǎn)的距離
$x=\frac{3L}{2}-{R}_{1}（1-cosα）$             ④
由①～④式解得
$x=（\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}）L$．

（2）如圖甲所示，粒子在右側(cè)磁場中沿半徑為R_n和R_m的兩臨界軌道從上邊緣CC₁離開磁場時，有
${R}_{n}=\frac{3}{4}L$                      ⑤
R_m=L                         ⑥
又$q{v}_{n}{B}_{2}=m\frac{{{v}_{n}}^{2}}{{R}_{n}}$                      ⑦
$q{v}_{m}{B}_{2}=m\frac{{{v}_{m}}^{2}}{{R}_{m}}$                       ⑧
粒子在中間電場運(yùn)動時
$q{E}_{n}L=\frac{1}{2}m{{v}_{n}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$           ⑨
$q{E}_{m}L=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$         ⑩
由①⑤⑦⑧⑨⑩式解得
  ${E}_{n}=\frac{11U}{16L}$，${E}_{m}=\frac{2U}{L}$       
電場強(qiáng)度的取值范圍為
$\frac{11U}{16L}＜E＜\frac{2U}{L}$
（3）粒子在左右磁場運(yùn)動
${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{1}}$⑪
${T}_{2}=\frac{2πm}{q{B}_{2}}$⑫
必須改變中間區(qū)域的電場方向并取定電場E的某一恰當(dāng)確定數(shù)值，粒子才能沿如圖乙所示的軌跡從D點(diǎn)射出．
由①～③式可得α=60°，有
$t=\frac{{T}_{1}}{3}+\frac{{T}_{2}}{2}$⑬
由⑪⑫⑬式解得
$t=\frac{7πL}{3}\sqrt{\frac{m}{6qU}}$．
答：（1）a點(diǎn)到A點(diǎn)的距離為$（\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}）L$；
（2）電場強(qiáng)度E的取值在$\frac{11U}{16L}＜E＜\frac{2U}{L}$范圍內(nèi)時粒子能從右側(cè)磁場的上邊緣CC₁間離開；
（3）粒子在左右兩側(cè)磁場中運(yùn)動的總時間是$\frac{7πL}{3}\sqrt{\frac{m}{6qU}}$．

點(diǎn)評 本題是帶電粒子在組合場中運(yùn)動的問題，解題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動軌跡，運(yùn)用幾何知識，結(jié)合半徑公式和周期公式進(jìn)行求解．