Question

15．如圖，A、C兩點(diǎn)分別位于x軸和y軸上，∠OCA=30°，OC的長度為L．在△OCA區(qū)域內(nèi)有垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電粒子，從坐標(biāo)原點(diǎn)射入磁場．不計(jì)重力．
（1）若粒子沿+y方向射入磁場，當(dāng)初速度滿足什么條件時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為定值；
（2）大量初速度大小為v=$\frac{qBL}{2m}$的粒子以不同的方向射入第一象限，求從AC邊射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間，及該粒子的入射方向與+x的夾角．

Answer 1

分析 （1）粒子轉(zhuǎn)過半圓從OA邊射出時(shí)時(shí)間為定值，速度最大的粒子與AC邊相切，畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系求解半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力求解最大速度；
（2）要使粒子在磁場中經(jīng)過的時(shí)間最短，需使粒子軌跡對(duì)應(yīng)的弦長最短，所以過O點(diǎn)做垂直于CA的線段為最短的弦，根據(jù)幾何關(guān)系求解圓心角和粒子的入射方向與+x的夾角．

解答 解：粒子轉(zhuǎn)過半圓從OA邊射出時(shí)時(shí)間為定值，速度最大的粒子與AC邊相切，如圖所示，

根據(jù)幾何關(guān)系可得：R=Ltan15°=（2-$\sqrt{3}$）L，
根據(jù)洛倫茲力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\frac{qBL}{m}（2-\sqrt{3}）$，
所以滿足條件的粒子速度范圍為：0＜v≤$\frac{qBL}{m}（2-\sqrt{3}）$；
（2）粒子速度大小相等，要使粒子在磁場中經(jīng)過的時(shí)間最短，需使粒子軌跡對(duì)應(yīng)的弦長最短，所以最短時(shí)間的軌跡如圖所示，

粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)半徑為：$r=\frac{mv}{qB}=\frac{L}{2}$，
軌跡圖中幾何關(guān)系可得CD=Lsin30°=$\frac{L}{2}$，
由此可知粒子軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為60°；
最短時(shí)間為：t=$\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}×\frac{2πm}{qB}=\frac{πm}{3qB}$，
由圖可知，粒子入射方向與+x軸的夾角為$θ=\frac{π}{3}$．
答：（1）若粒子沿+y方向射入磁場，當(dāng)初速度滿足0＜v≤$\frac{qBL}{m}（2-\sqrt{3}）$時(shí)，粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為定值；
（2）從AC邊射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為$\frac{πm}{3qB}$，該粒子的入射方向與+x的夾角為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)情況分析，一般是確定圓心位置，根據(jù)幾何關(guān)系求半徑，結(jié)合洛倫茲力提供向心力求解未知量；根據(jù)周期公式結(jié)合軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角求時(shí)間．