Question

如圖所示，直角坐標系中直線AB與橫軸x夾角∠BAO=30°，AO長為a．假設在點A處有一放射源可沿∠BAO所夾范圍內(nèi)的各個方向放射出質(zhì)量為m、速度大小均為v、帶電量為e的電子，電子重力忽略不計．在三角形ABO內(nèi)有垂直紙面向里的勻強磁場，當電子從頂點A沿AB方向射入磁場時，電子恰好從O點射出．試求：
（1）從頂點A沿AB方向射入的電子在磁場中的運動時間t；
（2）速度大小為2v的電子從頂點A沿AB方向射入磁場（其它條件不變），求從磁場射出的位置坐標．
（3）磁場大小、方向保持不變，改變勻強磁場分布區(qū)域，使磁場存在于三角形ABO內(nèi)的左側(cè)，要使放射出的速度大小為v電子穿過磁場后都垂直穿過y軸后向右運動，試求勻強磁場區(qū)域分布的最小面積S．（用陰影表示最小面積）

Answer 1

分析：（1）粒子做圓周運動，根據(jù)粒子在磁場中運動的半徑公式和周期公式可以求得粒子的運動的時間；
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力的公式，求出電子運動的半徑，然后做出以AB方向發(fā)射的電子在磁場中的運動軌跡，最后由幾何關系確定電子從磁場射出的位置坐標．
（3）根據(jù)所有的電子最后都垂直穿過y軸后向右運動，做出電子的運動的軌跡，根據(jù)幾何關系可以求得左側(cè)邊界虛線的曲線方程．

解答：解：（1）根據(jù)題意，電子在磁場中運動的軌跡如圖1，則根據(jù)幾何關系得電子在磁場中的運動的軌道半徑R=a，
由evB=

mv2

a

  
得：B=

mv

ea

   
由T=

2πm

eB

  
得：t=

60°

360°

T=

T

6

=

πa

3v

 
（2）速度大小為2v的電子從頂點A沿AB方向射入磁場時，由洛倫茲力提供向心力得：
e?2vB=

m(2v)2

r

得：r=

m?2v

eB

=2a
其運動的軌跡如圖2，則電子從y軸上射出點的位置：
y=r-OO′=2a-

3

a
所以從磁場射出的位置坐標：（0，2a-

3

a）
（3）要使勻強磁場區(qū)域分布的最小面積，有界磁場的上邊界為以AB方向發(fā)射的電子在磁場中的運動軌跡與AO中垂線交點的左側(cè)圓弧，
有界磁場的下邊界：以A點正上方、距A點的距離為a的點為圓心，以a為半徑的圓�。� 如圖3．
故最小磁場區(qū)域面積為：最小面積為：s=2(

πa2

12

-

1

2

a2sin30°)=

(π-3)

6

a2
答：（1）從頂點A沿AB方向射入的電子在磁場中的運動時間t=

πa

3v

；
（2）速度大小為2v的電子從頂點A沿AB方向射入磁場（其它條件不變），從磁場射出的位置坐標：（0，2a-

3

a）．
（3）磁場的最小面積為：

(π-3)

6

a2．

點評：本題考查帶電粒子在勻強磁場中的運動，要掌握住半徑公式、周期公式，畫出粒子的運動軌跡后，幾何關系就比較明顯了．