Question

7．一圓形勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），磁場方向垂直于xoy平面，圓心在x軸上．一個質(zhì)量為m，電荷量為q的帶電粒子，由磁場區(qū)域的圓心開始以初速度為v，方向沿x軸正方向運動．后來粒子經(jīng)過y軸上的P點，此時速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L，如圖所示，不計粒子重力的影響，求：
（1）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值；
（2）在（1）問的條件下圓形磁場的半徑R和圓心坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）分析可知當(dāng)粒子軌跡半r徑最大時對應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B最小，利用洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值；
（2）根據(jù)第（1）問中粒子軌跡過程圖，畫出圓形磁場區(qū)域，根據(jù)幾何關(guān)系求其半徑R以及圓心坐標(biāo)即可；

解答 解：（1）畫出粒子做圓周運動軌跡半徑r最大時，對應(yīng)的粒子軌跡過程圖，如圖一所示，

可知此時粒子運動的半徑r最大，磁感應(yīng)強(qiáng)度B最小，
洛倫茲力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ①
幾何關(guān)系有：r=L-rsin30°，解得：r=$\frac{2}{3}$L②
聯(lián)立①②式可得磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值：B=$\frac{3mv}{2qL}$
（2）畫出磁場區(qū)域如圖二所示，

根據(jù)幾何關(guān)系可知圓形磁場的半徑：R=O′′P=2rcos30°=2•$\frac{2}{3}$L•cos30°=$\frac{2\sqrt{3}L}{3}$
磁場區(qū)域圓心O′′的橫坐標(biāo)：x=-Rsin30°=$-\frac{\sqrt{3}L}{3}$
則圓心O′′的坐標(biāo)為（$-\frac{\sqrt{3}L}{3}$，0）
答：（1）磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的最小值為$\frac{3mv}{2qL}$；
（2）在（1）問的條件下圓形磁場的半徑R為$\frac{2\sqrt{3}L}{3}$和圓心坐標(biāo)為（$-\frac{\sqrt{3}L}{3}$，0）．

點評 本題考查帶電粒子在有界磁場中的運動，解題關(guān)鍵是要正確畫出粒子軌跡過程圖，利用洛倫茲力提供向心力結(jié)合幾何關(guān)系，第二問為求圓形磁場的最小面積問題，要根據(jù)粒子運動的軌跡正確畫出圓形磁場的區(qū)域，再利用幾何關(guān)系求解磁場區(qū)域的半徑R以及圓心坐標(biāo)，對數(shù)學(xué)幾何能力要求較高．