Question

如圖所示，在O處放置一個正電荷．在過O點的豎直平面內的A點自由釋放一個帶正電的小球，小球的質量為m，電荷量為q．小球落下的軌跡如圖中虛線所示，它與以O為圓心、R為半徑的圓（圖中實線表示）相交于B、C兩點，O、C在同一水平線上，∠BOC=30°，A點距離B的豎直高度為h．若小球通過C點的速度為v，則求：
（1）從A至C過程中小球克服電場力做的功；
（2）AB間的電勢差U_AB．

Answer 1

分析：小球從A至C的過程中只有重力和電場力做功，則它們做的總功等于小球動能的變化．根據動能定理可以求出小球克服電場力做的功W；根據電場力做功W_AB=qU_AB，在已知電場力做功的情況下可以求得AB間的電勢差．

解答：解：
（1）如圖：

根據小球運動的軌跡可知，小球從A至C的過程中豎直方向下落高度H=h+Rsin30°，則小球從A至C的過程中只有重力和電場力做功，根據動能定理有：
W_G+W_E=△E_K
即：mgH+WE=

1

2

mv2-0
則電場力做功：
WE=

1

2

mv2-mgH=

1

2

mv2-mg(h+

1

2

R)
所以小球克服電場力做功W=-W_E=mg(h+

R

2

)-

1

2

mv2
（2）根據電場力做功與電場勢差的關系有：W_AC=qU_AC
所以AC間的電勢差UAC=

WAC

q

=

1 2 mv2-mg(h+ 1 2 R)

q

=

mv2-mg(2h+R)

2q

答：（1）從A至C過程中小球克服電場力做的功為：mg(h+

R

2

)-

1

2

mv2；
（2）AB間的電勢差U_AB=

mv2-mg(2h+R)

2q

．

點評：在過程中能正確確定哪些力做功，滿足總功等于物體動能的變化，熟悉電場力做功與電勢差間的關系是解決本題的關鍵．