Question

13．如圖所示，質(zhì)量為m、內(nèi)壁光滑的半圓形軌道靜止在水平地面上，O為其圓心，P為軌道上一點，其中OP與OA的夾角為θ．將一質(zhì)量為m的小物塊由圖中的A點處靜止釋放．求：
（1）當小物塊運動到容器的P點時，地面對半圓形軌道的摩擦力多大？
（2）小物塊下滑過程中，θ為何值時，地面對半圓形軌道的摩擦力最大？
（3）為使物塊下滑過程中半圓形軌道始終保持靜止，半圓形軌道與地面的摩擦因數(shù)μ至少多大？

Answer 1

分析 （1）從A到P的過程中，根據(jù)動能定理列式，在P點，指向圓心的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式列式，聯(lián)立方程求出半圓形軌道對物體的支持力，半圓形軌道處于靜止狀態(tài)，受力平衡，對半圓形軌道受力分析，根據(jù)平衡條件求解摩擦力；
（2）根據(jù)數(shù)學知識分析θ為何值時，地面對半圓形軌道的摩擦力最大；
（3）根據(jù)平衡條件求出摩擦力最大時地面對半圓形軌道的支持力，再根據(jù)滑動摩擦力公式求出動摩擦因數(shù)的最小值．

解答 解：（1）從A到P的過程中，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mgRsinθ$
在P點，指向圓心的合力提供向心力，則有：
${F}_{N}-mgsinθ=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F_N=3mgsinθ，
半圓形軌道處于靜止狀態(tài)，受力平衡，對半圓形軌道受力分析，根據(jù)平衡條件得：
水平方向：f=F_Ncosθ=3mgsinθcosθ，
（2）地面對半圓形軌道的摩擦力f=3mgsinθcosθ=$\frac{3}{2}mgsin2θ$，當2θ=90°時，即θ=45°時，摩擦力最大，
（3）地面對半圓形軌道的最大摩擦力${f}_{max}=\frac{3}{2}mgsin90°=1.5mg$，
半圓形軌道豎直方向受力平衡，則有：N=mg+3mg（sin45°）²=2.5mg，
則動摩擦因數(shù)最小值μ_min=$\frac{{f}_{max}}{N}=\frac{1.5mg}{2.5mg}=0.6$
答：（1）當小物塊運動到容器的P點時，地面對半圓形軌道的摩擦力為3mgsinθcosθ；
（2）小物塊下滑過程中，θ為45°時，地面對半圓形軌道的摩擦力最大；
（3）為使物塊下滑過程中半圓形軌道始終保持靜止，半圓形軌道與地面的摩擦因數(shù)μ至少為0.6．

點評 本題主要考查了動能定理、向心力公式以及共點力平衡條件的直接應用，要求同學們能正確分析物體的受力情況，并能結(jié)合數(shù)學知識求解極值，難度適中．