Question

15．如圖，小球從光滑的斜面軌道上的某點(diǎn)下滑至光滑水平軌道末端時(shí)，光電裝置被觸動(dòng)，控制電路會(huì)使轉(zhuǎn)筒立刻以某一角速度勻速連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)（轉(zhuǎn)筒的底面半徑為R）．已知小球經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)無(wú)能量損失，軌道末端與轉(zhuǎn)筒上部相平，與轉(zhuǎn)筒的轉(zhuǎn)軸距離為L(zhǎng)，且與轉(zhuǎn)筒側(cè)壁上的小孔的高度差為h．開(kāi)始時(shí)轉(zhuǎn)筒靜止，且小孔正對(duì)著軌道方向．小球從斜軌上的A點(diǎn)無(wú)初速滑下，若正好能鉆入轉(zhuǎn)筒的小孔（小孔比小球略大，小球視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g），求：
（1）小球從斜軌上釋放時(shí)的高度H；  
（2）轉(zhuǎn)筒的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）小球從離開(kāi)圓弧軌道到進(jìn)入小孔的過(guò)程中做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的位移時(shí)間關(guān)系公式求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間和初速度，再對(duì)小球在圓弧軌道上的運(yùn)動(dòng)運(yùn)用機(jī)械能守恒定律列式求解；
（2）計(jì)算出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間后，根據(jù)角速度的定義式求解角速度即可．

解答 解：（1）設(shè)小球離開(kāi)軌道進(jìn)入小孔的時(shí)間為t，則由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得
h=$\frac{1}{2}$gt²
L-R=v₀t
小球在軌道上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒，故有
mgH=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$
聯(lián)立解得：
t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$
H=$\frac{（L-R）^{2}}{4h}$
（2）在小球做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間內(nèi)，圓筒必須恰好轉(zhuǎn)整數(shù)轉(zhuǎn)，小球才能鉆進(jìn)小孔，
即ωt=2nπ（n=1，2，3…）．
所以ω=$nπ\(zhòng)sqrt{\frac{2g}{h}}$（n=1，2，3…）
答：（1）小球從斜軌上釋放時(shí)的高度H為$\frac{{（L-R）}^{2}}{4h}$；
（2）轉(zhuǎn)筒的角速度ω為$nπ\(zhòng)sqrt{\frac{2g}{h}}$（n=1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是分析求出小球和圓筒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律、平拋運(yùn)動(dòng)分位移公式、角速度定義式列式求解．