Question

如圖為“S”字形玩具軌道，該軌道是用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)圓管彎成，固定在豎直平面內(nèi)，軌道彎曲部分由兩個(gè)半徑相等的半圓連接而成，圓半徑比細(xì)管內(nèi)徑大得多，軌道底端與水平地面相切，某彈射裝置將一個(gè)小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從a點(diǎn)以速度v₀水平彈射向b點(diǎn)并進(jìn)入軌道，經(jīng)過軌道后從p點(diǎn)水平拋出，已知小球與地面ab段間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，不計(jì)其他機(jī)械能損失，ab段長L＝1.25m，圓的半徑R＝0.1m，小球質(zhì)量m＝0.01kg，軌道質(zhì)量為m′＝0.15kg，g＝10m/s²，求：

（1）若v₀＝5m/s，小球從p點(diǎn)拋出后的水平射程．

（2）若v₀＝5m/s，小球經(jīng)過軌道的最高點(diǎn)時(shí)，管道對小球作用力的大小和方向．

（3）設(shè)小球進(jìn)入軌道之前，軌道對地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當(dāng)v₀至少為多少時(shí)，軌道對地面的壓力會為零，并指出此時(shí)小球的位置．

Answer 1

（1）s＝0.98m

（2）F＝1.1N  方向豎直向下

（3）v₀＝5m/s

解析:

（1）設(shè)小球運(yùn)動到p點(diǎn)的速度大小為v，對小球由a點(diǎn)運(yùn)動到p點(diǎn)的過程應(yīng)用動能定理得

－μmgL－4Rmg＝mv²－mv₀²

小球自p點(diǎn)做平拋運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t，水平射程為s，則：

4R＝gt²

s＝vt

聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得

s＝0.98m

（2）設(shè)在軌道最高點(diǎn)時(shí)管道對小球的作用力大小為F，取豎直向下為正方向

F＋mg＝

聯(lián)立代入數(shù)據(jù)解得

F＝1.1N

方向豎直向下

（3）分析可知，要使小球以最小速度v₀開始運(yùn)動，且軌道對地面的壓力為零，則小球的位置應(yīng)該在“S”字形軌道的中間位置

則有：

F′＋mg＝

F′＝m′g

－μmgL－2mgR＝mv₁²－mv₀²

解得：v₀＝5m/s