Question

11．已知質(zhì)量分布均勻的球殼對其內(nèi)部物體的引力為零．科學家設(shè)想在赤道正上方高d處和正下方深為d處各修建一環(huán)形軌道，軌道面與赤道面共面．現(xiàn)有A、B兩物體分別在上述兩軌道中做勻速圓周運動，若地球半徑為R，軌道對它們均無作用力，則A、B兩物體運動的向心加速度大小、線速度大小、角速度、周期之比為（　�。�

• A． $\frac{R^3}{{{{（R+d）}^2}（R-d）}}$
• B． $\frac{R}{{{R^2}-{d^2}}}\sqrt{R（R+d）}$
• C． $\sqrt{\frac{R^3}{{{{（R+d）}^3}}}}$
• D． $2π\(zhòng)sqrt{\frac{{{{（R+d）}^3}}}{{{{（R-d）}^3}}}}$

Answer 1

分析 由于地球質(zhì)量等于密度乘以體積，可得地球質(zhì)量表達式；由萬有引力提供向心力，對A、B分別列方程可得兩物體速度和加速度之比；

解答 解：設(shè)地球密度為ρ，則有：
在赤道上方：
$\frac{Gρ\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}{（R+d）_{\;}^{2}}=\frac{{v}_{1}^{2}}{R+d}={a}_{1}^{\;}={ω}_{1}^{2}（R+d）=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}（R+d）$
在赤道下方：
$\frac{G\frac{4}{3}π（R-d）_{\;}^{3}}{（R-d）_{\;}^{2}}=\frac{{v}_{2}^{2}}{R-d}={a}_{2}^{\;}$=${ω}_{2}^{2}（R-d）$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{2}^{2}}（R-d）$
解得：
$\frac{{a}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{{R}_{\;}^{3}}{（R+d）_{\;}^{2}（R-d）}$，故A正確；
$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}=\frac{R}{{R}_{\;}^{2}-44ap1nl_{\;}^{2}}\sqrt{R（R+d）}$．故B正確；
$\frac{{ω}_{1}^{\;}}{{ω}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{（R+d）_{\;}^{3}}}$，故C正確；
$\frac{{T}_{1}^{\;}}{{T}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{（R+d）_{\;}^{3}}{{R}_{\;}^{3}}}$，故D錯誤；
故選：ABC

點評 本題主要掌握萬有引力提供向心力的基本應(yīng)用，要學會用數(shù)學方法表示球體質(zhì)量，并正確應(yīng)用萬有引力提供向心力求解各物理量的表達式．