Question

18．一物體在距某一行星表面某一高度處由靜止開始做自由落體運動，依次通過A、B、C三點，已知AB段與BC段的距離均為0.06m，通過AB段與BC段的時間分為0.1s與0.05s．求：
（1）該星球表面重力加速度值；
（2）若該星球的半徑為180km，則環(huán)繞該行星的衛(wèi)星做圓周運動的最小周期為多少．

Answer 1

分析 （1）分別對AB、AC段由位移公移列式，聯(lián)立可求得該行量表面的重力加速度；
（2）當(dāng)衛(wèi)星在行星表面飛行時，運行周期最小，則由萬有引力定律的應(yīng)用可求得最周期．

解答 解：（1）設(shè)通過A點的速度為${v}_{0}^{\;}$，行星表面的重力加速度為g，環(huán)繞該行星的衛(wèi)星做圓周運動的最小周期為T，行星質(zhì)量為 M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，行星的半徑為R
由公式$x={v}_{0}^{\;}t+\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$得
對AB段有：
$0.06=0.1{v}_{0}^{\;}+\frac{1}{2}g（0.1）_{\;}^{2}①$
對AC段有：
$0.12=0.15{v}_{0}^{\;}+\frac{1}{2}g（0.15）_{\;}^{2}②$
由①②得：$g=8m/{s}_{\;}^{2}$
（2）近地衛(wèi)星最快，周期最小，有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R①$
在行星表面有：$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg②$
聯(lián)立得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{GM}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{180000}{10}}=120π\(zhòng)sqrt{5}$
答：（1）該星球表面重力加速度值為$8m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）若該星球的半徑為180km，則環(huán)繞該行星的衛(wèi)星做圓周運動的最小周期為$120π\(zhòng)sqrt{5}$s

點評 本題為萬有引力與運動學(xué)公式的結(jié)合，應(yīng)明確天體的運動中萬有引力充當(dāng)向心力，而在地球表面處萬有引力可以近似看作等于重力；記住“衛(wèi)星越高越慢、越低越快”．