Question

（2006?廣東模擬）鐵路轉(zhuǎn)彎處的彎道半徑r是根據(jù)地形決定的．彎道處要求外軌比內(nèi)軌高，其內(nèi)外軌高度差h的設(shè)計(jì)不僅與r有關(guān)，還取決于火車在彎道上的行駛速率．下圖表格中是鐵路設(shè)計(jì)人員技術(shù)手冊(cè)中彎道半徑r及與之對(duì)應(yīng)的軌道的高度差h．

彎道半徑r/m	660	330	220	165	132	110
內(nèi)外軌高度差h/mm	50	100	150	200	250	300

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試導(dǎo)出h和r關(guān)系的表達(dá)式，并求出當(dāng)r=440m時(shí)，h的設(shè)計(jì)值；
（2）鐵路建成后，火車通過(guò)彎道時(shí)，為保證絕對(duì)安全，要求內(nèi)外軌道均不向車輪施加側(cè)向壓力，又已知我國(guó)鐵路內(nèi)外軌的間距設(shè)計(jì)值為L(zhǎng)=1435mm，結(jié)合表中數(shù)據(jù)，算出我國(guó)火車的轉(zhuǎn)彎速率v（以km/h為單位，結(jié)果取整數(shù)；路軌傾角很小時(shí)，正弦值按正切值處理）
（3）隨著人們生活節(jié)奏加快，對(duì)交通運(yùn)輸?shù)目旖萏岢隽烁�高的要求．為了提高運(yùn)輸力，國(guó)家對(duì)鐵路不斷進(jìn)行提速，這就要求鐵路轉(zhuǎn)彎速率也需要提高．請(qǐng)根據(jù)上述計(jì)算原理和上述表格分析提速時(shí)應(yīng)采取怎樣的有效措施？

Answer 1

分析：（1）由于660×50=330×100=220×150為定值即hr=33m²，故可以求出當(dāng)r=440m時(shí)h的設(shè)計(jì)值；
（2）因?yàn)榛疖囘\(yùn)動(dòng)的軌跡圓沿水平方向，轉(zhuǎn)彎中，當(dāng)內(nèi)外軌對(duì)車輪沒(méi)有側(cè)向壓力時(shí)，軌道的支持力在豎直方向的分力平衡重力，在水平方向的分力恰好提供向心力，故有mgtanθ=m

v2

r

，再根據(jù)當(dāng)θ很小，有：tanθ≈sinθ=

h

L

，即可求出火車轉(zhuǎn)彎的速率v．
（3）根據(jù)（2）中速率v的表達(dá)式即可找到可采取的有效措施．

解答：解：（1）分析表中數(shù)據(jù)可得，每組的h與r之乘積均等于常數(shù)
C=660m×50×10^-3m=33m²
因此    h?r=33（或h=33

1

r

）    ①
當(dāng)r=440m時(shí)，有：
h=

33

440

m=0.075m=75mm                    
（2）轉(zhuǎn)彎中，當(dāng)內(nèi)外軌對(duì)車輪沒(méi)有側(cè)向壓力時(shí)，火車的受力如圖所示．由牛頓第二定律得：mgtanθ=m

v2

r

     ②
因?yàn)棣群苄。�有�?span id="vbpyjm7" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">tanθ≈sinθ=

h

L

       ③
由②，③可得：v=

ghr L

        ④
代入數(shù)據(jù)得：v=15m/s=54km/h
（3）由④式可知，可采取的有效措施有：
a．適當(dāng)增大內(nèi)外軌的高度差h；
b．適當(dāng)增大鐵路彎道的軌道半徑r．
答：（1）當(dāng)r=440m時(shí)，h的設(shè)計(jì)值為75mm；
（2）我國(guó)火車的轉(zhuǎn)彎速率v為54km/h；
（3）為了提速應(yīng)采取的措施有：a．適當(dāng)增大內(nèi)外軌的高度差h；b．適當(dāng)增大鐵路彎道的軌道半徑r．

點(diǎn)評(píng)：軌道的支持力在豎直方向的分力平衡重力，在水平方向的分力提供向心力，一定不能沿斜面和垂直于斜面分解重力，因?yàn)榛疖囘\(yùn)動(dòng)的軌跡圓沿水平方向而不是沿斜面方向．