Question

（2011?淮安模擬）如圖甲所示的控制電子運(yùn)動裝置由偏轉(zhuǎn)電場、偏轉(zhuǎn)磁場組成．偏轉(zhuǎn)電場處在加有電壓U、相距為d的兩塊水平平行放置的導(dǎo)體板之間，勻強(qiáng)磁場水平寬度一定，豎直長度足夠大，其緊靠偏轉(zhuǎn)電場的右邊．大量電子以相同初速度連續(xù)不斷地沿兩板正中間虛線的方向向右射入導(dǎo)體板之間．當(dāng)兩板間沒有加電壓時(shí)，這些電子通過兩板之間的時(shí)間為2t₀；當(dāng)兩板間加上圖乙所示的電壓U時(shí)，所有電子均能通過電場、穿過磁場，最后打在豎直放置的熒光屏上．已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e，不計(jì)電子的重力及電子間的相互作用，電壓U的最大值為U₀，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向水平且垂直紙面向里．
（1）如果電子在t=t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間，求它離開偏轉(zhuǎn)電場時(shí)豎直分位移的大小．
（2）要使電子在t=0時(shí)刻進(jìn)入電場并能最終垂直打在熒光屏上，勻強(qiáng)磁場的水平寬度l為多少？
（3）證明：在滿足（2）問磁場寬度l的條件下，所有電子自進(jìn)入板間到最終打在熒光屏上的總時(shí)間相同．

Answer 1

分析：（1）電子在t=t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間，先做勻速運(yùn)動，后做類平拋運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t₀，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由y=

1

2

a

t

2 0

求出電子離開偏轉(zhuǎn)電場時(shí)豎直分位移的大�。�
（2）根據(jù)加速度和時(shí)間求出電子在電場中速度的偏向角θ．在磁場中最終垂直打在熒光屏上，則電子在磁場中的速度偏向角也θ，軌跡的圓心角為θ，由牛頓第二定律和幾何關(guān)系求解勻強(qiáng)磁場的水平寬度．
（3）電子在電場中水平是勻速直線運(yùn)動，在兩板間運(yùn)動的時(shí)間均為t₁=2t₀．電子在磁場中速度偏向角仍為θ，電子在磁場中運(yùn)動時(shí)間為t₂=

θ

2π

T=

θm

qB

，得到總時(shí)間總是相同．

解答：解：（1）電子在t=t₀時(shí)刻進(jìn)入兩板間，先做勻速運(yùn)動，后做類平拋運(yùn)動，
        在2t₀～3t₀時(shí)間內(nèi)發(fā)生偏轉(zhuǎn)       a=

eE

m

=

eU0

md

   y=

1

2

a

t

2 0

=

eU0 t 2 0

2md

    （2）設(shè)電子從電場中射出的偏向角為θ，速度為v，則sinθ=

vy

v

=

eU0t0

mdv

     電子通過勻強(qiáng)磁場并能垂直打在熒光屏上，其圓周運(yùn)動的半徑為R，根據(jù)牛頓第二定律 
         有evB=m

v2

R

         由幾何關(guān)系得   sinθ=

l

R

         得 水平寬度l=

U0t0

Bd

     （3）證明：無論何時(shí)進(jìn)入兩板間的電子，在兩板間運(yùn)動的時(shí)間均為t₁=2t₀
      射出電場時(shí)的豎直分速度v_y均相同，vy=at0=

eU0t0

md

      射出電場時(shí)速度方向與初速v₀方向的夾角θ均相同，滿足tanθ=

vy

v0

=

eU0t0

mv0d

       因進(jìn)入偏轉(zhuǎn)磁場時(shí)電子速度大小v=

v 2 0 + v 2 y

相同，方向平行，所以電子在磁場中的軌道半徑相同，都垂直打在熒光屏上                                     
       根據(jù)幾何關(guān)系，電子在磁場中運(yùn)動軌跡所對的圓心角必為θ，
       則在磁場中運(yùn)動時(shí)間t2=

θ

2π

T=

mθ

eB

故電子運(yùn)動的總時(shí)間t=t1+t2=2t0+

mθ

eB

，即總時(shí)間相同．

點(diǎn)評：本題電子先電場中運(yùn)動，后在磁場中運(yùn)動的問題，電場中研究是運(yùn)動的合成與分解，運(yùn)用牛頓定律和運(yùn)動公式分析求解．電子在磁場中運(yùn)動的問題關(guān)鍵是畫軌跡，定圓心角．