Question

15．如圖所示，一傾斜的光滑軌道底部接一個半徑為R的圓形光滑軌道．質(zhì)量為m的小球沿斜軌道由一定的高度從靜止開始下滑，滑到底端時與靜止的質(zhì)量為M的球發(fā)生正碰．碰撞時沒有機械能損失，碰撞后的M剛好能越過圓軌道的頂端而不離開軌道，m被反彈回去．求：
（1）開始時小球m離最低點的高度h；
（2）小球m碰撞后沿斜面上升的高度h′
（3）$\frac{h′}{h}$？

Answer 1

分析 （1）M剛好能越過圓軌道的頂端而不離開軌道則在最高點受到的重力恰好提供向心力，由牛頓第二定律即可求出M的速度；然后由機械能守恒求出M在最低點的速度；m與M碰撞的過程中動量守恒，機械能也守恒，由此即可求出碰撞前m的速度，最后由機械能守恒求出開始時小球的高度h；
（2）結(jié)合（1）的公式即可求出碰撞后小球m的速度，然后由機械能守恒即可求出h′；
（3）根據(jù)以上的結(jié)果即可求出．

解答 解：（1）M剛好能越過圓軌道的頂端而不離開軌道則在最高點受到的重力恰好提供向心力，由牛頓第二定律得：
$Mg=\frac{M{v}_{3}^{2}}{R}$
M由最低點到最高點的過程中機械能守恒，則：
$\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}=Mg•2R+\frac{1}{2}M{v}_{3}^{2}$
聯(lián)立得：${v}_{2}=\sqrt{5gR}$
在最低點m與M碰撞的過程中水平方向的動量守恒，選取向右為正方向，設(shè)碰撞前m的速度為v₁，碰撞后m的速度為v₁′，M的速度為v₂，由動量守恒得：
mv₁=mv₁′+Mv₂
由于的彈性碰撞，則機械能守恒，得：
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}=\frac{1}{2}mv{′}_{1}^{2}+\frac{1}{2}M{v}_{2}^{2}$
聯(lián)立以上方程得：${v}_{1}=\frac{M+m}{2m}•\sqrt{5gR}$，${v}_{1}′=\frac{m-M}{2m}•\sqrt{5gR}$
小球下降的過程中機械能守恒，所以：$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
所以：h=$\frac{5（M+m）^{2}R}{8{m}^{2}}$
（2）小球被反彈后上升的過程中機械能也守恒，則：$mgh′=\frac{1}{2}mv{′}_{1}^{2}$
所以：h′=$\frac{5{（M-m）}^{2}R}{8{m}^{2}}$
（3）由以上的結(jié)果可知，$\frac{h′}{h}$=$（\frac{M-m}{M+m}）^{2}$
答：（1）開始時小球m離最低點的高度是$\frac{5（M+m）^{2}R}{8{m}^{2}}$；
（2）小球m碰撞后沿斜面上升的高度是$\frac{5{（M-m）}^{2}R}{8{m}^{2}}$；
（3）$\frac{h′}{h}$是$（\frac{M-m}{M+m}）^{2}$

點評 該題涉及豎直平面內(nèi)的圓周運動、機械能守恒與動量守恒定律，涉及的過程也比較多，在解答的過程中要注意對各過程的分析，明確各個過程對應(yīng)的物理規(guī)律，然后找出合適的公式即可．