Question

12．如圖所示，平行光滑金屬導(dǎo)軌水平放置，兩軌相距L=1m、導(dǎo)軌一端與阻值R=0.9Ω的電阻相連，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，導(dǎo)軌x＞0一側(cè)存在沿x方向均增大的磁場(chǎng)，其方向與導(dǎo)軌平面垂直向下，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨位置x變化的關(guān)系是B=0.2+0.1x（T），一根質(zhì)量m=0.2kg、電阻r=0.1Ω的金屬棒置于導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直．
（1）若棒在水平外力F的作用下從x=0處以速度v₀=6m/s沿導(dǎo)軌向右勻速動(dòng)，求力F的大小與時(shí)間的關(guān)系；
（2）若棒在外力作用下在x=0處以速度v₀=6m/s沿導(dǎo)軌向右做變速運(yùn)動(dòng)，且要保持R的功率不變，在棒從x=0到x=10m的過程中，求外力所做的功．

Answer 1

分析 （1）棒向右運(yùn)動(dòng)，合力為零．由法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律和安培力公式推導(dǎo)出安培力與時(shí)間的關(guān)系，再由平衡條件求得F與t的關(guān)系．
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律與閉合電路歐姆定律相結(jié)合，來計(jì)算感應(yīng)電流的大��；分別求出x=0與x=10m處的安培力的大小，求出安培力做功，再由動(dòng)能定理求外力做功．

解答 解：（1）金屬棒切割產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：
E=BLv₀=（0.2+0.1x）Lv₀，
其中 x=v₀t
由閉合電路歐姆定律得電路中的電流為：I=$\frac{E}{R+r}$
棒勻速運(yùn)動(dòng)，外力與安培力大小，為：F=BIL=（0.2+0.1x）IL
聯(lián)立解得：F=6（0.2+0.6t）² N．
（2）x=0時(shí)，B₀=0.2T
金屬棒切割產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=B₀Lv=0.2×1×6V=1.2V，
由閉合電路歐姆定律，電路中的電流為：I=$\frac{E}{R+r}$=1.2A
當(dāng)x=0m時(shí)，安培力為：F₀=B₀IL=0.24N，
x=10m時(shí)，F(xiàn)_A=B₂IL=（0.2+0.1x）IL=1.44N
金屬棒從x=0運(yùn)動(dòng)到x=10m過程中安培力做功的大小，為：w=$\frac{1}{2}$（F₀+F_A）x=8.4J
在x=10m處，B₂=0.2+0.1x=1.2T，
切割產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，有：E=B₂Lv₂，
由上可得，金屬棒在x=10m處的速度為：v₂=1m/s
由動(dòng)能定理有：W_F-W=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得外力做功為：W_F=4.9J
答：（1）力F的大小與時(shí)間的關(guān)系是F=6（0.2+0.6t）² N．
（2）外力所做的功是4.9J．

點(diǎn)評(píng) 本題由法拉第電磁感應(yīng)定律、閉合電路歐姆定律推導(dǎo)出安培力與時(shí)間、位移的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵，在電流不變時(shí)，安培力與x是線性關(guān)系，求安培力做功時(shí)可用安培力的平均值與位移相乘．