Question

18．如圖所示，水平傳輸帶以v=20m/s的速度勻速向右運動，左右兩邊端點A、B的間距為L=10m．傳輸帶左邊接傾斜直軌道AC，AC軌道與水平面夾角為θ=37^°．傳輸帶右邊接半圓形軌道BD并相切于B點，BD軌道半徑R=2m．兩軌道與傳輸帶連接處認為緊密圓滑，物體通過連接點時無機械能損失．有一可視為質(zhì)點的物體從B點出發(fā)以初速度v₀向左運動．已知物體與傳輸帶的動摩擦因數(shù)為μ₁=0.4，物體與斜面的動摩擦因數(shù)為μ₂=0.3，圓軌道光滑．問：v₀至少多大，物體才能運動經(jīng)過D點？（AC斜面足夠長，結(jié)果保留3位有效數(shù)字）

Answer 1

分析 物體恰好能到達D點，必須由重力提供向心力，可求得物體到達D點所需要的速度，由機械能守恒定律求出物體到達B必須具有的速度．再研究物體B到A、A到C、以及C到B的過程，運用牛頓第二定律和運動學公式得到B點的速度與初速度的關(guān)系，從而求得初速度的條件．

解答 解：設(shè)小物體恰能運動到D點的速度為v_D，重力提供向心力：$mg=m\frac{v_D^2}{R}$…①
下面求此臨界狀態(tài)下的v₀．設(shè)物體從B點向左出發(fā)后第一次返回B點時的速度為 $v_B^{\;}$
物體從B運動到D的過程中機械能守恒：$\frac{1}{2}mv_B^2=\frac{1}{2}mv_D^2+mg•2R$…②
由①②得：${v_B}=\sqrt{5gR}=10m/s$…③
若傳輸帶足夠長，則當v₀=10m/s時，物體先向左減速到零后又向右加速，由于傳輸帶速度為20m/s＞10m/s，所以物體向右運動的過程中一直加速．且向左運動的加速度大小與向右運動時的加速度大小相等，由對稱性可得回到B點的速度v_B=10m/s，恰能完成圓周運動到D點．如果能完成上述過程，傳輸帶的長度至少為L′．
從B向A運動的過程中，物塊的加速度大小為：${a_1}=\frac{{{μ_1}mg}}{m}=4m/{s^2}$…④
  $v_0^2=2{a_1}L'$
解得：L'=12.5m＞10m
斜面AC有摩擦要損失動能，所以v₀=10m/s是不能讓物體最終運動到D點的．v₀的臨界速度必須比10m/s更大． 設(shè)物體從B以v₀出發(fā)運動到最左端的A點時的速度為v_A．
則 ${v_A}^2-{v_0}^2=-2{a_1}L$…⑤
在斜面AC上行過程中加速度大小設(shè)為a₂，上行的最大位移為x，則有：${a_2}=\frac{{mgsinθ+{μ_2}mgcosθ}}{m}=8.4m/{s^2}$ ⑥
 $x=\frac{v_A^2}{{2{a_2}}}$…⑦
從B出發(fā)經(jīng)傳輸帶和斜面AC再經(jīng)傳輸帶回到B的過程中由動能定理有：
 $-{μ_2}mgcosθ•2x=\frac{1}{2}m{v_B}^2-\frac{1}{2}mv_0^2$…⑧
由⑤⑦⑧得$（1-\frac{{2{μ_2}gcosθ}}{a_2}）v_0^2=v_B^2-\frac{{4{μ_2}g{a_1}Lcosθ}}{a_2}$…⑨
代入③④⑥數(shù)據(jù)代入得：v₀=11.3m/s，所以物體初速度至少應為11.3m/s．
答：v₀至少11.3m/s，物體才能運動經(jīng)過D點．

點評 本題要理清物體運動的過程，分段應用牛頓第二定律、機械能守恒定律和運動學公式研究物體的速度，結(jié)合最高點臨界速度進行研究．