Question

20．如圖所示，一小錘用細(xì)線系于固定懸掛點(diǎn)O處，將小錘拉至O左側(cè)一定高度（不超過O點(diǎn)所在的水平面）由靜止釋放，小錘恰好在最低點(diǎn)P與停在光滑水平面上的物塊發(fā)生彈性正碰，碰后物塊沖向右邊固定在墻上的細(xì)長鋼釘．
已知物塊和小錘的質(zhì)量分別為m、3m；物塊和鋼釘?shù)拈L度分別為l、2l，OP距離為R；當(dāng)小錘釋放點(diǎn)距離P的高度h=$\frac{R}{2}$時(shí)，物塊最終停止時(shí)其右端到墻的水平距離為$\frac{l}{2}$．重力加速度為g．物塊未被穿透時(shí)受到的阻力大小只與鋼釘進(jìn)入物塊的深度有關(guān)，物塊被穿透后受到的阻力恒為f₀．
（1）當(dāng)h=$\frac{R}{2}$時(shí)，小錘與物塊碰前瞬間對細(xì)線的拉力；
（2）當(dāng)h=$\frac{R}{2}$時(shí)，物塊開始接觸鋼釘時(shí)的速度大�。�
（3）要使物塊最終被穿透但又沒碰到墻，試求h的取值范圍并討論在此范圍內(nèi)物塊停止時(shí)其右端與墻的水平距離x與h的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）小錘向下擺動(dòng)過程機(jī)械能守恒，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律可以求出拉力．
（2）小錘與物塊發(fā)生彈性碰撞，碰撞過程系統(tǒng)動(dòng)量與機(jī)械能守恒，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律可以求出速度．
（3）對物塊應(yīng)用動(dòng)能定理求出x與h的關(guān)系．

解答 解：（1）小錘下擺過程只有重力做功，機(jī)械能守恒，
由機(jī)械能守恒定律得：3mgh=$\frac{1}{2}$•3mv²，解得：v=$\sqrt{gR}$，
在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F-3mg=3m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：F=6mg，由牛頓第三定律可知，
對細(xì)線的拉力：F′=F=6mg，方向豎直向上；
（2）小錘與物塊碰撞過程系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以小錘的初速度方向?yàn)檎�方向�?br />由動(dòng)量守恒定律得：3mv=3mv₁+mv₂ ①
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$•3mv²=$\frac{1}{2}$•3mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂² ②
已知：h=$\frac{R}{2}$，解得：v₁=$\frac{1}{2}$$\sqrt{gR}$，v₂=$\frac{3}{2}$$\sqrt{gR}$；
（3）物塊被穿透過程的阻力為變力，該過程阻力做功為W₁，物塊被穿透后受到的阻力恒為f₀，
此過程阻力做功為：-f₀（l-x），物塊減速到零的過程中，
由動(dòng)能定理得：W₁-f₀（l-x）=0-$\frac{1}{2}$mv₂² ③
已知：h=$\frac{R}{2}$、x=$\frac{l}{2}$，解得：W₁=$\frac{1}{2}$f₀l-$\frac{9}{8}$mgR   ④
當(dāng)h≤R時(shí)，由前面的分析可知，物體接觸鋼釘?shù)乃矔r(shí)速度為：v₂=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2gh}$，
物塊接觸鋼釘后到物塊停止過程中，由①②③④解得：
x=-$\frac{9mg}{4{f}_{0}}$h+$\frac{9mg}{8{f}_{0}}$R+$\frac{1}{2}$l    ⑤
0＜x＜l，則：$\frac{R}{2}$-$\frac{2{f}_{0}l}{9mg}$＜h＜$\frac{R}{2}$+$\frac{2{f}_{0}l}{9mg}$   ⑥，
當(dāng)h≤R時(shí)，由W₁=$\frac{1}{2}$f₀l-$\frac{9}{8}$mgR＜0可知，l＜$\frac{9mgR}{4{f}_{0}}$，
代入⑥解得：$\frac{R}{2}$+$\frac{2{f}_{0}l}{9mg}$＜R，⑥符合要求，
綜上所述可知，h的取值范圍是：$\frac{R}{2}$-$\frac{2{f}_{0}l}{9mg}$＜h＜$\frac{R}{2}$+$\frac{2{f}_{0}l}{9mg}$，
在此范圍內(nèi)：x=-$\frac{9mg}{4{f}_{0}}$h+$\frac{9mg}{8{f}_{0}}$R+$\frac{1}{2}$l；
答：（1）當(dāng)h=$\frac{R}{2}$時(shí)，小錘與物塊碰前瞬間對細(xì)線的拉力大小為：6mg，方向豎直向上；
（2）當(dāng)h=$\frac{R}{2}$時(shí)，物塊開始接觸鋼釘時(shí)的速度大小為$\frac{3}{2}$$\sqrt{gR}$；
（3）h的取值范圍是：$\frac{R}{2}$-$\frac{2{f}_{0}l}{9mg}$＜h＜$\frac{R}{2}$+$\frac{2{f}_{0}l}{9mg}$，在此范圍內(nèi)物塊停止時(shí)其右端與墻的水平距離x與h的關(guān)系式是：x=-$\frac{9mg}{4{f}_{0}}$h+$\frac{9mg}{8{f}_{0}}$R+$\frac{1}{2}$l．

點(diǎn)評 本題考查了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律與動(dòng)能定理的應(yīng)用，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律與動(dòng)能定理即可正確解題．