Question

近幾年，我國(guó)北方地區(qū)多次遭遇沙塵暴天氣．現(xiàn)把沙塵上揚(yáng)后的情況簡(jiǎn)化為如下情境：v為豎直向上的風(fēng)速，沙塵顆粒被揚(yáng)起后懸浮在空中（不動(dòng)），這時(shí)風(fēng)對(duì)沙塵的作用力相當(dāng)于空氣不動(dòng)而沙塵以速度v向下時(shí)所受的阻力，此阻力可表示為：f=aρAv²，其中a為一系數(shù)，A為沙塵顆粒截面積，ρ為空氣密度．計(jì)算結(jié)果取兩位有效數(shù)字．
（1）若沙粒的密度ρ_s=2.8×10³㎏/m³，沙塵顆粒為球形，半徑r=2.5×10^-4m，地球表面處空氣密度ρ₀=1.25㎏/m³，a=0.45，試估算在地面附近沙塵揚(yáng)起的v值．
（2）假定空氣密度ρ隨高度h的變化關(guān)系為ρ=ρ₀（1-Ch），其中ρ₀為h=0處的空氣密度，C為一常數(shù)，C=1.2×10^-4/m^-1，試估算當(dāng)v=9.0m/s時(shí)揚(yáng)塵的最大高度．（不考慮重力加速度隨高度的變化，g取10m/s²）

Answer 1

（1）在地面附近，沙塵揚(yáng)起要能懸浮在空中，則空氣阻力至少應(yīng)與重力平衡．即：
aρ0A

v

21

=mg…①
式中A=πr² …②
m=

4

3

πr3ρs…③
由①②③式得：
v1=

4ρsgr 3aρ0

，代入數(shù)據(jù)得：
v₁≈4.0m/s
（2）設(shè)最大高度h，此處空氣密度ρ_h，則：ρ_h=ρ₀（1-ch）…④
又：aρhAv2=mg…⑤
由②③④⑤式可解得：
h=

1

c

(1-

4rρsg

3av2ρ0

)，代入數(shù)據(jù)得：
h≈6.7×10³m
答：（1）地面附近沙塵揚(yáng)起的v值為：4.0m/s
（2）當(dāng)v=9.0m/s時(shí)揚(yáng)塵的最大高度為：6.7×10³m