Question

如圖甲所示，兩根光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ彼此平行，相距L=0.5m，與水平面成θ=37°角放置，在導(dǎo)軌的上部接有一滑動(dòng)變阻器，其最大阻值R=10Ω．一根質(zhì)量為m=50g、電阻r=2Ω的直導(dǎo)體棒ab與導(dǎo)軌垂直放置且與導(dǎo)軌接觸良好．在圖示的矩形虛線區(qū)域內(nèi)存在著垂直導(dǎo)軌平面向下、磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，該磁場(chǎng)始終以速度v₀在矩形虛線區(qū)域內(nèi)沿著導(dǎo)軌勻速向上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)滑片滑至滑動(dòng)變阻器的中點(diǎn)時(shí)，導(dǎo)體棒恰能在導(dǎo)軌上靜止不動(dòng)．金屬導(dǎo)軌的電阻不計(jì)，運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中總能保證金屬棒處于磁場(chǎng)中．設(shè)軌道足夠長(zhǎng)，重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）求磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的速度v₀是多大？
（2）現(xiàn)將滑動(dòng)變阻器接入電路的阻值迅速變?yōu)?Ω，求導(dǎo)體棒穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小及該過(guò)程中安培力的最大功率．
（3）若將滑動(dòng)變阻器的滑片滑至某處后導(dǎo)體棒穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度用符號(hào)v表示，此時(shí)對(duì)應(yīng)電路的總電阻用符號(hào)R_總表示，請(qǐng)推導(dǎo)速度v隨總電阻R_總變化的關(guān)系式，并在圖乙中準(zhǔn)確地畫出此情況下的v-R_總圖象．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)體棒處于平衡，根據(jù)共點(diǎn)力平衡，結(jié)合閉合電路歐姆定律和切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)求出磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)的速度．
（2）根據(jù)導(dǎo)體棒穩(wěn)定時(shí)，處于平衡求出導(dǎo)體棒相對(duì)于磁場(chǎng)的速度大小，從而求出導(dǎo)體棒穩(wěn)定時(shí)的速度大�。�當(dāng)相對(duì)于磁場(chǎng)速度最大時(shí)，產(chǎn)生的電功率最大．
（3）根據(jù)穩(wěn)定時(shí)平衡推導(dǎo)出相對(duì)速度與總電阻的關(guān)系式，從而推導(dǎo)出速度v隨總電阻R_總變化的關(guān)系式．

解答：解：（1）根據(jù)BIL=mgsin37°
又I=

BLv0

R+r

聯(lián)立解得：v0=

mg(R+r)

B2L2

=2.1m/s．
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒穩(wěn)定時(shí)，有：mgsin37°=

B2L2v相對(duì)

R′+r

代入數(shù)據(jù)解得，v_相對(duì)=0.9m/s，
則導(dǎo)體棒的速度v=v₀-v_相對(duì)=2.1-0.9=1.2m/s．
當(dāng)金屬棒相對(duì)磁場(chǎng)速度與2.1m/s時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電流最大，安培力的功率最大，
有Pm=

B2L2vm2

R′+r

=

4× 1 4 ×2．12

3

W=1.47W．
（3）根據(jù)mgsin37°=

B2L2v相對(duì)

R總

解得v相對(duì)=

mgR總sin37°

B2L2

=0.3R總
則v=v₀-v_相對(duì)=2.1-0.3R_總（2Ω≤R_總≤12Ω）．

答：（1）磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的速度v₀是2.1m/s．
（2）導(dǎo)體棒穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小為1.2m/s，安培力最大功率為1.47W．
（3）速度v隨總電阻R_總變化的關(guān)系式為2.1-0.3R_總（2Ω≤R_總≤12Ω）．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵確定導(dǎo)體棒相對(duì)于磁場(chǎng)的速度，抓住受到重力的分力和安培力平衡進(jìn)行求解．