Question

14．已知火星的第一宇宙速度為v，火星半徑為R，其自轉周期為T，萬有引力常量為G．
（1）求火星的質量M；
（2）若要發(fā)射火星的同步衛(wèi)星，求它距火星表面的高度h．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力提供向心力，結合火星的半徑和第一宇宙速度，求出火星的質量．
（2）根據萬有引力提供向心力，抓住同步衛(wèi)星的周期等于自轉周期，求出同步衛(wèi)星距離火星表面的高度．

解答 解：（1）第一宇宙速度即該行星近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，其向心力由萬有引力提供，
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：M=$\frac{R{v}^{2}}{G}$．
（2）火星自轉周期即火星同步衛(wèi)星的運行周期，
$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$，
h=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$，
代入M，解得：h=$\root{3}{\frac{R{v}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．
答：（1）火星的質量為$\frac{R{v}^{2}}{G}$；
（2）它距火星表面的高度h為$\root{3}{\frac{R{v}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$．

點評 解決問題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，知道同步衛(wèi)星的周期和自轉周期相等，難度不大．