Question

4．簡諧運動是一種理想化的運動模型，是機械振動中最簡單、最基本的振動．它具有如下特點：
1）簡諧運動的物體受到回復力的作用，回復力的大小與物體偏離平衡位置的位移大小成正比、方向與位移方向相反，即：F_回=-kx，其中k為振動系數(shù)，其值由振動系統(tǒng)決定．
2）簡諧運動是一種周期性運動，其周期與振動物體的質(zhì)量的平方根成正比，與振動系統(tǒng)的振動系數(shù)的平方根成反比，而與振幅無關，即：T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$．
（1）如圖1所示，一光滑的水平桿，在桿上穿有兩輕質(zhì)彈簧，勁度系數(shù)分別為k₁、k₂，彈簧兩端固定于豎直墻上，中間系一質(zhì)量為m的金屬小球，此時兩彈簧均處于原長，O為平衡位置．現(xiàn)將小球沿桿拉開一段距離后松開，小球以O為平衡位置做簡諧運動．
a．寫出小球偏離平衡位置的位移大小為x時合外力F_合的表達式；
b．寫出小球做簡諧運動的周期T．
（2）一定質(zhì)量的理想氣體，在溫度保持不變的條件下，其壓強與體積的乘積保持不變，即：PV=P'V'（玻意爾-馬略特定律）．如圖2所示，一密閉長方體容器，導熱性能良好，中間有一質(zhì)量為m的活塞，將容器分隔成體積相等的兩部分，且兩部分氣體完全相同，整個容器的溫度保持不變．已知氣體的壓強為P₀，活塞到兩端的距離均為L，活塞的橫截面積為S，取向右為正方向．
a．現(xiàn)將活塞緩慢向右移到M位置，由靜止釋放，試求出活塞的位移為x時兩邊氣體的壓強P₁和P₂比值；
b．證明：在振幅A遠小于L的條件下，活塞的運動可以看作簡諧運動．

Answer 1

分析 （1）a、根據(jù)胡克定律即可寫出出小球偏離平衡位置的位移大小為x時合外力F_合的表達式；
b．根據(jù)小球做簡諧運動的周期即可寫出．
（2）a、由玻意爾定律分別寫出兩部分氣體的壓強的表達式，然后即可求出；
b、求出活塞的受力與位移之間的關系公式，然后即可做出判斷．

解答 解：（1）a．由胡克定律可得，小球受到的合外力：F_合=-（k₁+k₂）x
b．彈簧中子振動的周期公式與彈簧的勁度系數(shù)有關，公式為：T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{m}{{k}_{1}+{k}_{2}}}$
（2）a．對左邊氣體，由玻意爾定律得：P₀LS=P₁（L+x）S
所以：P₁=$\frac{L}{L+x}•{P}_{0}$
同理對右邊氣體，由玻-馬定律得：P₀LS=P₂（L-x）S
所以：P₂=$\frac{L}{L-x}•{P}_{0}$
所以：$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}$=$\frac{L-x}{L+x}$
b．活塞在運動到距離平衡位置的位移為x時，活塞受到的合力等于兩部分氣體壓力的差，即：
F_合=P₁S-P₂S
聯(lián)立得：F_合=$\frac{{P}_{0}SL}{L+x}$-$\frac{{P}_{0}SL}{L-x}$=$-\frac{2{P}_{0}SLx}{{L}^{2}-{x}^{2}}$
因為x遠小于L，所以：F_合=$-\frac{2{P}_{0}SLx}{{L}^{2}-{x}^{2}}$≈$-\frac{2{P}_{0}S}{L}•x$=-kx
其中k=$-\frac{2{P}_{0}S}{L}$為一定值，所以在A遠小于L的條件下，活塞的運動可視為簡諧運動．
答：（1）a．小球偏離平衡位置的位移大小為x時合外力F_合的表達式為F_合=-（k₁+k₂）x；
b．小球做簡諧運動的周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{m}{{k}_{1}+{k}_{2}}}$．
（2）活塞的位移為x時兩邊氣體的壓強P₁和P₂比值為$\frac{L-x}{L+x}$；
b．證明見上．

點評 該題結合玻意爾定律考查簡諧振動的受力特點，解答的關鍵是正確理解活塞受到的合力等于兩部分氣體壓力的差．