Question

2．如圖a所示的平面坐標(biāo)系xOy，在整個區(qū)域內(nèi)充滿了勻強磁場，磁場方向垂直坐標(biāo)平面，磁感應(yīng)強度B隨時間變化的關(guān)系如圖b所示，開始時刻，磁場方向垂直紙面向內(nèi)（如圖）．t=0時刻，有一帶正電的粒子（不計重力）從坐標(biāo)原點O沿x軸正向進(jìn)入磁場，初速度為v₀=2×10³m/s．已知正粒子的比荷為1.0×10⁴C/kg，其它有關(guān)數(shù)據(jù)見圖中標(biāo)示．試求：

（1）粒子在磁場中運動時的圓周半徑及周期．
（2）t=$\frac{4π}{3}$×10^-4s時刻，粒子的坐標(biāo)．
（3）在坐標(biāo)紙上畫出粒子從開始時刻起到第一次到達(dá)y軸的軌跡示意圖，要求在圖中標(biāo)明軌跡對應(yīng)的圓心角度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由洛倫茲力提供向心力可以得到軌道半徑，由軌道半徑可得周期．
（2）由磁場的變化可以畫出在第一段時間內(nèi)粒子的運動軌跡，由運動軌跡的幾何關(guān)系可得到粒子的坐標(biāo)．
（3）依據(jù)磁場變化的周期性，可知粒子的運動也存在對應(yīng)的周期性，可做粒子的軌跡圖．

解答 解：（1）粒子進(jìn)入磁場后在磁場中作勻速圓周運動，設(shè)半徑為R，周期為T，由洛侖茲力提供向心力，有：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：R=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=$\frac{2×1{0}^{3}}{1×1{0}^{4}×0.5}$=0.4m
又：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2π×1{0}^{-4}}{0.5}$=4π×10^-4s
（2）在磁場變化的第一段時間內(nèi)，粒子運動的周期數(shù)為：N=$\frac{\frac{4π}{3}×1{0}^{-4}}{4π×1{0}^{-4}}$=$\frac{1}{3}$（個運動周期） 
運動軌跡對應(yīng)的圓心角為120°，作出粒子在磁場中運動的軌跡如圖所示．
第一段時間末，粒子的坐標(biāo)為：
x=Rcos30°=0.2$\sqrt{3}$m，y=R+$\overline{{O}_{1}A}$sin30°=0.6m
所求時刻，粒子的坐標(biāo)（0.2$\sqrt{3}$m，0.6m） 
（3）根據(jù)第（1）問可知，粒子在第一個磁場變化的時間段內(nèi)時，運動了N₁=$\frac{1}{3}$個周期，在第二個時間段內(nèi)運動的周期數(shù)為N₂=$\frac{\frac{2π}{3}×1{0}^{-4}}{4π×1{0}^{-4}}$=$\frac{1}{6}$（個周期） 
所對應(yīng)的運動軌跡圓心角為60°．運動軌跡如圖所示．
第三個時間段內(nèi)同樣運動了：N₃=$\frac{\frac{4π}{3}×1{0}^{-4}}{4π×1{0}^{-4}}$=$\frac{1}{3}$（個周期）
對應(yīng)的圓心角為120°．
粒子在磁場中作周期性運動，根據(jù)對稱性和周期性，畫出粒子的部分運動軌跡如圖，其中O₂、O₆、O₁₀構(gòu)成一個正三邊形．
答：（1）粒子在磁場中運動時的圓周半徑是0.4m，周期是4π×10^-4s．
（2）t=$\frac{4π}{3}$×10^-4s時刻，粒子的坐標(biāo)是（0.2$\sqrt{3}$m，0.6m）．
（3）在坐標(biāo)紙上畫出粒子從開始時刻起到第一次到達(dá)y軸的軌跡示意圖

點評 本題重點是對磁場周期性的應(yīng)用，磁場的周期性一定就會由粒子運動周期性的變化，故只要得到一個周期的運動軌跡，就可以重復(fù)畫軌跡，直到得到想要的結(jié)果．本題由于粒子的運動軌跡比較復(fù)雜，故考察的難度相對較大．