Question

（2007?北京）用密度為d、電阻率為ρ、橫截面積為A的薄金屬條制成邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的閉合正方形框abb′a′．如圖所示，金屬方框水平放在磁極的狹縫間，方框平面與磁場(chǎng)方向平行．設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)僅存在于相對(duì)磁極之間，其他地方的磁場(chǎng)忽略不計(jì)．可認(rèn)為方框的aa′邊和bb′邊都處在磁極間，極間磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．方框從靜止開始釋放，其平面在下落過程中保持水平（不計(jì)空氣阻力）．
（1）求方框下落的最大速度v_m（設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域在豎直方向足夠長(zhǎng)）；
（2）當(dāng)方框下落的加速度為

g

2

時(shí)，求方框的發(fā)熱功率P；
（3）已知方框下落的時(shí)間為t時(shí)，下落的高度為h，其速度為v_t（v_t＜v_m）．若在同一時(shí)間t內(nèi)，方框內(nèi)產(chǎn)生的熱與一恒定電流I₀在該框內(nèi)產(chǎn)生的熱相同，求恒定電流I₀的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）分析方框運(yùn)動(dòng)的過程，知道當(dāng)方框勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度最大，根據(jù)力的平衡知識(shí)求解．
（2）方框下落加速度為

g

2

時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得出感應(yīng)電流大小，再根據(jù)焦耳定律求解．
（3）根據(jù)能量守恒定律表示出時(shí)間t內(nèi)方框內(nèi)產(chǎn)生的熱量表達(dá)式，再求出恒定電流I₀的表達(dá)式．

解答：解：（1）方框質(zhì)量    m=4LAd
方框電阻            R=ρ

4L

A

方框下落速度為v時(shí)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)  E=B?2Lv
感應(yīng)電流              I=

E

R

=

BAv

2ρ

方框下落過程，受到重力G及安培力F，
G=mg=4LAdg，方向豎直向下
安培力F=BI?2L=

B2AL

ρ

v，方向豎直向上
當(dāng)F=G時(shí)，方框達(dá)到最大速度，即v=v_m
則           

B2AL

ρ

vm=4LAdg
方框下落的最大速度    vm=

4ρd

B2

g
（2）方框下落加速度為

g

2

時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律有
mg-BI?2L=m

g

2

，
則                I=

mg

4BL

=

Adg

B

方框的發(fā)熱功率   P=I2R=

4ρALd2g2

B2

（3）根據(jù)能量守恒定律，方框重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化動(dòng)能和電流產(chǎn)生的熱量，所以有
 mgh=

1

2

m

v

2 t

+

I

2 0

Rt
I0=

m Rt (gh- 1 2 v 2 t )

解得：恒定電流I₀的表達(dá)式     I0=A

d ρt (gh- 1 2 v 2 t )

答：（1）求方框下落的最大速度為

4ρd

B2

g；
（2）方框的發(fā)熱功率P是

4ρALd2g2

B2

；
（3）恒定電流I₀的表達(dá)式為 A

d ρt (gh- 1 2 v 2 t )

．

點(diǎn)評(píng)：解答這類問題的關(guān)鍵是通過受力分析，正確分析安培力的變化情況，找出最大速度的運(yùn)動(dòng)特征．
電磁感應(yīng)與電路結(jié)合的題目，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是中間橋梁．