Question

5．如圖所示，等腰直角三角形ABC為某透明介質(zhì)的橫截面．O為BC邊的中點(diǎn)，位于O點(diǎn)處的點(diǎn)光源在透明介質(zhì)內(nèi)向各個(gè)方向發(fā)射光線，其中從AC邊上的D點(diǎn)射出的光線平行于BC，從E點(diǎn)射出的光線垂直BC向上．已知BC邊長(zhǎng)為2L．求：
（ i）該光在介質(zhì)中發(fā)生全反射的臨界角θ．
（ii） DE的長(zhǎng)度x（可能用到sin 15°=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}$或tan15°=2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （i）分析光線OD的折射情況，根據(jù)折射定律求出折射率，再由全反射臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求臨界角θ．
（ii）在△ODE中，根據(jù)正弦定理求DE的長(zhǎng)度x．

解答 解：（1）根據(jù)光的折射定律，分析光線OD的折射情況，有
n=$\frac{sinr}{sini}$=$\frac{sin45°}{sin30°}$=$\sqrt{2}$
由$sinθ=\frac{1}{n}$知  θ=45°
（2）在△ODE中，由正弦定理得：
$\frac{OD}{sin45°}$=$\frac{L}{sin120°}$
得：$OD=DE=\frac{{\sqrt{6}}}{3}L$
答：（i）該光在介質(zhì)中發(fā)生全反射的臨界角θ是45°．
（ii） DE的長(zhǎng)度x是$\frac{\sqrt{6}}{3}$L．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是掌握折射定律和臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$，能靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)研究邊長(zhǎng)．