Question

5．如果把水星和金星繞太陽的運動視為勻速圓周運動，從水星與金星在一條直線上開始計時，若天文學家測得在相同時間內水星轉過的角度為θ₁，金星轉過的角度為θ₂（θ₁、θ₂均為銳角），則由此條件可求得（　�。�

• A． 水星和金星繞太陽運動的周期之比$\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}$
• B． 水星和金星的密度之比（$\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}$）²
• C． 水星和金星到太陽的距離之比$\frac{\root{3}{{{θ}^{2}}_{2}}}{\root{3}{{{θ}^{2}}_{1}}}$
• D． 水星和金星繞太陽運動的向心加速度大小之比$\frac{\root{3}{{{θ}_{1}}^{4}}}{\root{3}{{{θ}_{2}}^{4}}}$

Answer 1

分析 根據(jù)相同時間內轉過的角度之比求出角速度之比，從而得出周期之比，根據(jù)萬有引力提供向心力得出軌道半徑和周期的關系，結合周期之比求出軌道半徑之比．根據(jù)萬有引力提供向心力得出向心加速度之比．

解答 解：A、相同時間內水星轉過的角度為θ₁；金星轉過的角度為θ₂，可知它們的角速度之比為θ₁：θ₂．周期T=$\frac{2π}{ω}$，則周期比為θ₂：θ₁．故A正確．
B、水星和金星是環(huán)繞天體，無法求出質量，也無法知道它們的半徑，所以求不出密度比．故B錯誤．
C、萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，解得：r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}$，則：$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$=$\frac{\root{3}{{θ}_{2}^{2}}}{\root{3}{{θ}_{1}^{2}}}$，故C正確．
D、向心加速度：a=ω²r=$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，已知：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{{θ}_{2}}{{θ}_{1}}$，則：$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}$=$\frac{\root{3}{{θ}_{2}^{2}}}{\root{3}{{θ}_{1}^{2}}}$，則：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{\root{3}{{θ}_{1}^{4}}}{\root{3}{{θ}_{2}^{4}}}$，故D正確；
故選：ACD．

點評 本題考查了萬有引力定律的應用，解決本題的關鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，靈活應用萬有引力公式與牛頓第二定律、角速度的定義式等知識即可解題．