Question

15．如圖所示，有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)邊界線SP平行于MN，SP和MN相距為d，速率不同的同種帶電粒子電荷量為e，質(zhì)量為m．從S點(diǎn)沿SP方向同時(shí)射入磁場(chǎng)．其中穿過(guò)a點(diǎn)的粒子速度v₁與MN垂直；穿過(guò)b點(diǎn)的粒子速度v₂與MN成60°角，設(shè)兩粒子從S到a、b所需時(shí)間分別為t₁和t₂，（重力不計(jì)）則：
①穿過(guò)a、b兩處的粒子速度之比
②兩粒子從S到a、b所需時(shí)間之比．

Answer 1

分析 ①帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)粒子的射入點(diǎn)和射出點(diǎn)，以及速度的方向畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡；根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡求得粒子的運(yùn)動(dòng)半徑和磁場(chǎng)寬度的關(guān)系，然后根據(jù)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，求得粒子運(yùn)動(dòng)的半徑與速度的關(guān)系，最后求出兩個(gè)粒子速度的比值；
②粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式可以判斷粒子的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：①根據(jù)題意，在圖上畫出兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖：
SP與MN之間的距離為d，由圖可得從a點(diǎn)射出的粒子的半徑：r₁=d
從b點(diǎn)射出的粒子：$\frac{{{r_2}-d}}{r_2}=cos60°$
所以：r₂=2d
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，得：$qvB=m\frac{v^2}{r}$
即：$v=\frac{qBr}{m}$
所以：$\frac{v_1}{v_2}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{2}$
②粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期的公式為$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{qB}$，由此可知，粒子的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與粒子的速度的大小無(wú)關(guān)，所以粒子在磁場(chǎng)中的周期相同，由粒子的運(yùn)動(dòng)的軌跡可知，通過(guò)a點(diǎn)的粒子的偏轉(zhuǎn)角為90°，通過(guò)b點(diǎn)的粒子的偏轉(zhuǎn)角為60°，所以通過(guò)a點(diǎn)的粒子的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{1}{4}T$，通過(guò)b點(diǎn)的粒子的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{1}{6}$T，所以從S到a、b所需時(shí)間$\frac{t_1}{t_2}=\frac{3}{2}$，
答：①穿過(guò)a、b兩處的粒子速度之比為1：2；
②兩粒子從S到a、b所需時(shí)間之比為3：2．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)解題一般程序是：
1、畫軌跡：確定圓心，幾何方法求半徑并畫出軌跡．
2、找聯(lián)系：軌跡半徑與磁感應(yīng)強(qiáng)度、速度聯(lián)系；偏轉(zhuǎn)角度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間相聯(lián)系，時(shí)間與周期聯(lián)系．