Question

（2005?南通模擬）在光滑的水平面上沿直線按不同的間距依次排列著質(zhì)量均為m的滑塊，1、2、3、…（n-1）、n，滑塊P的質(zhì)量也為m．P從靜止開始在大小為F的水平恒力作用下向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)時(shí)間T與滑塊1碰撞，碰撞后滑塊便粘連在一起．以后每經(jīng)過(guò)時(shí)間T就與下一滑塊碰撞一次，每次碰撞后均粘連在一起，每次碰撞時(shí)間極短，每個(gè)物塊都可簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)．求

（1）第一次碰撞后瞬間的速度及第一次碰撞過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能；
（2）發(fā)生第n次碰撞后瞬間的速度v_n為多大；
（3）第n-1個(gè)滑塊與第n個(gè)滑塊間的距離s_n-1．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)量定理求出第一次碰撞前P的速度．由于碰撞時(shí)間極短，碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒，得到第一次碰撞后瞬間的速度．碰撞過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能等于系統(tǒng)動(dòng)能的減小，根據(jù)能量守恒定律求出．
（2）根據(jù)動(dòng)量定理研究從開始到發(fā)生第n次碰撞過(guò)程，求出發(fā)生第n次碰撞后瞬間的速度v_n．
（3）根據(jù)動(dòng)量定理求出第（n-1）次碰后的速度，對(duì)第n次碰撞前全過(guò)程應(yīng)用動(dòng)量定理求出第n次碰后的速度，再由動(dòng)能定理求出第n-1個(gè)滑塊與第n個(gè)滑塊間的距離s_n-1．

解答：解：（1）設(shè)第一次碰撞前瞬間P的速度為u₁，根據(jù)動(dòng)量定理得：FT=mu₁   
得撞前瞬間的速度u₁=

FT

m

因碰撞時(shí)間極短，第一次碰撞后瞬間的速度為V₁，根據(jù)動(dòng)量守恒得：mu₁=2mV₁
得碰后瞬間速度V₁=

FT

2m

 
第一次碰撞過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能：△E=

1

2

mu12-

1

2

2mV12=

F2T2

4m

（2）因每次碰撞時(shí)間極短，對(duì)從開始到發(fā)生第n次碰撞后瞬間應(yīng)用動(dòng)量定理：
F?nT=（n+1）mV_n   
解得：Vn=

nFT

(n+1)m

（3）同理可以求出第（n-1）次碰后的速度V_n-1=

(n-1)FT

nm

對(duì)第n次碰撞前全過(guò)程應(yīng)用動(dòng)量定理
     FnT=nmu_n  
得到：u_n=

FT

m

  （與n無(wú)關(guān)）
對(duì)n-1到n之間應(yīng)用動(dòng)能定理：
   FS_n-1=

1

2

nmun2-

1

2

nm

v

2 n-1

代入化簡(jiǎn)得：S_n-1=

(2n-1)FT2

2nm

答：
（1）第一次碰撞后瞬間的速度為度V₁=

FT

2m

，第一次碰撞過(guò)程中產(chǎn)生的內(nèi)能為

F2T2

4m

；
（2）發(fā)生第n次碰撞后瞬間的速度v_n為

nFT

(n+1)m

；
（3）第n-1個(gè)滑塊與第n個(gè)滑塊間的距離s_n-1=

(2n-1)FT2

2nm

．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及若干個(gè)物體的碰撞，尋找碰撞后速度的規(guī)律是關(guān)鍵，本題采用了數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行研究．