Question

2．如圖所示，某工廠需將質(zhì)量m₁=100kg的貨物（可視為質(zhì)點(diǎn)）從高處運(yùn)送至地面，為避免貨物與地面發(fā)生撞擊，現(xiàn)利用固定于地面的光滑四分之一圓軌道，使貨物由軌道頂端無(wú)初速度滑下，軌道半徑R=2.45m．地面上緊靠軌道依次排放兩塊完全相同的木板A、B，長(zhǎng)度均為L(zhǎng)=3m，質(zhì)量均為m₂=60kg，木板上表面與軌道末端相切．貨物與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁，木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.2．（最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等，取g=10m/s²）
（1）求貨物到達(dá)圓軌道末端時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）若貨物滑上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，而滑上木板B時(shí)，木板B開(kāi)始滑動(dòng)，求μ₁應(yīng)滿足的條件；
（3）若μ₁=0.4，求貨物在A、B板上發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）物體下滑的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒可以得出到達(dá)底端時(shí)的速度，再由向心力的公式可以求得物體受到的支持力的大小，根據(jù)牛頓第三定律可以得到貨物到達(dá)圓軌道末端時(shí)對(duì)軌道的壓力大�。�
（2）貨物滑上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，說(shuō)明此時(shí)貨物對(duì)木板的摩擦力小于或等于地面對(duì)木板的摩擦力的大小，而滑上木板B時(shí)，木板B開(kāi)始滑動(dòng)，說(shuō)明此時(shí)貨物對(duì)木板的摩擦力大于地面對(duì)木板B的摩擦力的大小，由此可以判斷摩擦因數(shù)μ₁的范圍．
（3）當(dāng)μ₁=0.4時(shí)，由（2）可知，貨物在木板A上滑動(dòng)時(shí)，木板不動(dòng)，貨物做的是勻減速直線運(yùn)動(dòng)，位移是木板的長(zhǎng)度L，由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可以求得．

解答 解：（1）解：（1）設(shè)貨物滑到圓軌道末端時(shí)的速度為v₁，對(duì)貨物的下滑過(guò)程中根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
${m}_{1}gR=\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$
設(shè)貨物在軌道末端所受支持力的大小為F_N，根據(jù)牛頓第二定律得：
 ${F}_{N}-{m}_{1}g={m}_{1}\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$                   
解得：F_N=3000N                  
由牛頓第三定律得貨物到達(dá)圓軌道末端時(shí)對(duì)軌道的壓力為3000N；
（2）要使貨物在A上方時(shí)木板不滑動(dòng)，應(yīng)該有：
μ₁m₁g＜μ₂（m₁+2m₂）g
解得：μ₁＜0.44
要使貨物在B上方時(shí)木板滑動(dòng)，應(yīng)該有：
μ₁m₁g＞μ₂（m₁+m₂）g
解得：μ₁＞0.32
則μ₁應(yīng)滿足的條件0.32＜μ₁＜0.44；
（3）μ₁=0.4，由上問(wèn)可得，貨物在木板A上滑動(dòng)時(shí)，木板不動(dòng)，設(shè)貨物在木板A上做減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小為a₁
由牛頓第二定律得：μ₁m₁g=m₁a₁
設(shè)貨物滑到木板A末端時(shí)的速度為v₂，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}=-2{a}_{1}L$
解得v₂=5m/s
設(shè)在木板A上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
v₂=v₁-a₁t₁
解得：t₁=0.5s；
接著滑到木板B上，由牛頓第二定律得
μ₁m₁g-μ₂（m₁+m₂）g=m₂a₂
設(shè)在木板B上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
v₃=v₂-a₁t₂=a₂t₂
解得t₂=$\frac{15}{16}s$
貨物在A、B板上發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的總時(shí)間
$t={t}_{1}+{t}_{2}=\frac{23}{16}s$
答：（1）貨物到達(dá)圓軌道末端時(shí)對(duì)軌道的壓力為3000N；
（2）若貨物滑上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，而滑上木板B時(shí)，木板B開(kāi)始滑動(dòng)，μ₁應(yīng)滿足的條件0.32＜μ₁＜0.44；
（3）若μ₁=0.4，貨物在A、B板上發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的總時(shí)間為$\frac{23}{16}s$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了機(jī)械能守恒、圓周運(yùn)動(dòng)和牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用，特別需要注意的是貨物在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)木板的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由于是兩塊木板，所以貨物運(yùn)到到不同的地方時(shí)木板的受力不一樣．