Question

一個(gè)密閉容器內(nèi)盛有水（未滿），處于平衡狀態(tài)．已知水在14℃時(shí)的飽和蒸氣壓為12.0mmHg．設(shè)水蒸氣分子碰到水面時(shí)都變成水，氣體分子的平均速率與氣體的熱力學(xué)溫度的平方根成正比，試近似計(jì)算在100℃和14℃時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積水面的蒸發(fā)變成水蒸氣分子之比

n100

n14

等于多少？（取一位有效數(shù)字）

Answer 1

分析：在給定的溫度壓強(qiáng)下水的飽和蒸汽壓是可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出來(lái)的．測(cè)得水的飽和蒸汽壓后，由理想氣體方程出發(fā)可以得到該溫度壓強(qiáng)下水的飽和蒸汽的濃度（指的是單位體積內(nèi)的水分子的物質(zhì)的量）．假設(shè)水的飽和蒸汽產(chǎn)生的分壓為P₀，根據(jù)公式P₀V=nRT 得 濃度a=

n

V

=

P0V RT

V

=

P0

RT

從氣體的熱統(tǒng)計(jì)學(xué)角度求出單位時(shí)間內(nèi)的凝結(jié)速率，我們也就得到了水在該溫度壓強(qiáng)下的蒸發(fā)速率．為了計(jì)算這個(gè)具體數(shù)值，我們將空氣分子視為以各自的速度運(yùn)動(dòng)的剛性小球，在該的假設(shè)條件下，單位時(shí)間內(nèi)能夠與液面相撞的小球的數(shù)量可以認(rèn)為是水的凝結(jié)速率，該速率等于水的蒸發(fā)速率．

解答：解：根據(jù)克拉伯龍方程公式P₀V=nRT 得水蒸氣在T K時(shí)單位體積內(nèi)的水蒸氣的分子的量
a=

n

V

=

P0V RT

V

=

P0

RT

    ①
單位體積內(nèi)分子的個(gè)數(shù)：N=N_a?a   ②
空氣分子視為以各自的速度運(yùn)動(dòng)的剛性小球，在該的假設(shè)條件下，單位時(shí)間內(nèi)能夠與液面相撞的小球的數(shù)量可以認(rèn)為是水的凝結(jié)速率，該速率等于水的蒸發(fā)速率．
選取以液面為底面積的邊長(zhǎng)L=1m立方體空氣柱為研究對(duì)象，以垂直液面的方向?yàn)閄軸建立坐標(biāo)系，則由于要研究的水蒸氣的數(shù)目巨大，沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的粒子的數(shù)目近似相同，所以有近似

1

6

N的水分子是向著水面運(yùn)動(dòng)的，
所以向著水面運(yùn)動(dòng)的分子全部落入水中的時(shí)間：t=

1

. v

    ③
又有題目知：平均速率與氣體的熱力學(xué)溫度的平方根成正比，即：

.

v

∝

T

=k

T

     ④
所以單位時(shí)間內(nèi)落入水面的分子的數(shù)目：n0=

1 6 N

t

=

1

6

N?

.

v

=

1

6

N?k

T

已知水在14℃（287K）時(shí)的飽和蒸氣壓為12.0mmHg．在100℃（373K）時(shí)的飽和蒸汽壓是760.0mmHg．
所以：

n100

n14

=

1 6 N100?k T100

1 6 N14?k T14

=

Na?a100? T100

Na?a14? T14

=

P100 RT100 ? T100

P14 RT14 T14

=

P100

P14

?

T14

T100

=

760.0

12.0

?

287

373

=

55.55

1

答：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積水面的蒸發(fā)變成水蒸氣分子之比

n100

n14

等于55.55．

點(diǎn)評(píng)：該題的難點(diǎn)是建立一個(gè)模型：將水分子視為剛性小球，讓單位體積內(nèi)的水分子穿過(guò)某一面積，單位時(shí)間內(nèi)落入水面的分子的數(shù)目，即為單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)單位面積水面的蒸發(fā)變成水蒸氣分子數(shù)目．該模型類似于氣體壓強(qiáng)的微觀解釋．