Question

如圖所示，一個(gè)很長(zhǎng)的豎直放置的圓柱形磁鐵，在其外部產(chǎn)生一個(gè)中心輻射的磁場(chǎng)（磁場(chǎng)水平向外），其大小為B=

k

r

（其中：r為輻射半徑-考察點(diǎn)到圓柱形磁鐵中心軸線的距離，k為常數(shù)），設(shè)一個(gè)與磁鐵同軸的圓形鋁環(huán)，半徑為R（大于圓柱形磁鐵的半徑），制成鋁環(huán)的鋁絲其橫截面積為S，鋁環(huán)由靜止開(kāi)始下落通過(guò)磁場(chǎng)，下落過(guò)程中鋁環(huán)平面始終水平，已知鋁絲電阻率為ρ，密度為ρ₀，當(dāng)?shù)氐闹亓�加速度為g，試求：
（1）鋁環(huán)下落的速度為v時(shí)的電功率是多大？
（2）鋁環(huán)下落的最終速度v_m是多大？
（3）如果從開(kāi)始到下落高度為h時(shí)，速度最大，經(jīng)歷的時(shí)間為t，這一過(guò)程中鋁環(huán)中電流的有效值I₀是多大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)電阻定律求出圓環(huán)的電阻，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，根據(jù)電功率的表達(dá)式求解．
（2）當(dāng)圓環(huán)加速度為零時(shí)，有最大速度，由平衡條件求解．
（3）由能量守恒定律，結(jié)合由有效值來(lái)確定熱量，從而即可求解．

解答：解：（1）由題意知圓環(huán)所在處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

K

R

，圓環(huán)的有效切割長(zhǎng)度為其周長(zhǎng)，即L=2πR，
圓環(huán)的電阻R₀=ρ

L

S

=ρ

2πR

S

，當(dāng)圓環(huán)的速度為v時(shí)，切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)E=BLv=2kπv，
圓環(huán)中的電流I=

KvS

ρR

，圓環(huán)速度為v時(shí)電功率P=I²R₀
聯(lián)立以上各式解得：P=

2πSK2 v2

ρR

（2）當(dāng)圓環(huán)加速度為零時(shí)，有最大速度v_m，此時(shí)安培力F=BIL=

2πSK2vm

ρR

由平衡條件可知：mg=F，圓環(huán)的質(zhì)量m=ρ₀S?2πR
 解得：v_m=

ρρ0gR2

K2

（3）由能量守恒定律得：
mgh=

1

2

m

v

2 m

+

I

2 0

Rt 
則：

I

2 0

Rt=2πρ₀RS[gh-

1

2

（

ρρ0gR2

K2

）²]
解得：I0=

2πρ0RS[gh- 1 2 ( ρρ0gR2 K2 )2 Rt

答：（1）鋁環(huán)下落速度為v時(shí)的電功率是

2πSK2 v2

ρR

，
（2）鋁環(huán)下落的最終速度是

ρρ0gR2

K2

，
（3）當(dāng)下落h高度時(shí)，速度最大，此過(guò)程鋁環(huán)中電流的有效值I₀是：I0=

2πρ0RS[gh- 1 2 ( ρρ0gR2 K2 )2 Rt

點(diǎn)評(píng)：解決該題關(guān)鍵是把電磁感應(yīng)與電路知識(shí)，能量守恒定律結(jié)合起來(lái)求解．