Question

如圖1所示，兩根與水平面成θ=30°角的足夠長光滑金屬導(dǎo)軌平行放置，導(dǎo)軌間距為L=1m，導(dǎo)軌底端接有阻值為1Ω的電阻R，導(dǎo)軌的電阻忽略不計．整個裝置處于勻強磁場中，磁場方向垂直于導(dǎo)軌平面斜向上，磁感應(yīng)強度B=1T．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=0.2kg、電阻不計的金屬棒用細(xì)繩通過光滑滑輪與質(zhì)量為M=0.5kg的物體相連，細(xì)繩與導(dǎo)軌平面平行．將金屬棒與M由靜止釋放，棒沿導(dǎo)軌運動了2m后開始做勻速運動．運動過程中，棒與導(dǎo)軌始終保持垂直接觸．（取重力加速度g=10m/s²）求：
（1）金屬棒勻速運動時的速度；
（2）棒從釋放到開始勻速運動的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）若保持某一大小的磁感應(yīng)強度B₁不變，取不同質(zhì)量M的物塊拉動金屬棒，測出金屬棒相應(yīng)的做勻速運動的v值，得到實驗圖象如圖2所示，請根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)計算出此時的B₁；

Answer 1

分析：（1）金屬棒勻速運動時，受力平衡，繩子的拉力大小等于Mg，由平衡條件和安培力公式F_A=

B2L2v

R

求解速度．
（2）金屬棒上滑的過程中，M的重力勢能減小轉(zhuǎn)化為m的重力勢能、M和m的動能及電路中的內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）由（1）中速度與質(zhì)量的關(guān)系式，分析圖象的斜率與截距的意義，求解B₁．

解答：解：（1）金屬棒勻速運動時，受力平衡，所以   Mg=mgsin θ+

B2L2v

R

解得：v=

(Mg-mgsinθ)R

B2L2

=4 m/s        
（2）對系統(tǒng)，由能量守恒有：Mgs=mgs?sinθ+Q+

1

2

（M+m）v²      
則電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為：Q=Mgs-mgs?sinθ-

1

2

（M+m）v²=2.4 J                
（3）由上式變換成速度與質(zhì)量的函數(shù)關(guān)系為：
v=

(Mg-mgsinθ)R

B2L2

=

gR

B2L2

M-

mgRsinθ

B2L2

  
由數(shù)學(xué)知識知，v-M圖象的斜率等于

gR

B2L2

              
再由圖象可得：

gR

B2L2

=

10

0.3

，代入解得，B₁=0.54 T                  
答：
（1）金屬棒勻速運動時的速度為4m/s；
（2）棒從釋放到開始勻速運動的過程中，電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱是2.4J；
（3）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)計算出此時的B₁為0.54T．

點評：本題中根據(jù)物理規(guī)律得到解析式，再分析圖象的數(shù)學(xué)意義，采用數(shù)學(xué)上數(shù)形結(jié)合的方法．