Question

如圖所示，在光滑絕緣水平面上有兩個(gè)帶電小球A、B，質(zhì)量分別為3m和m，小球A帶正電q，小球B帶負(fù)電-2q，開始時(shí)兩小球相距s₀，小球A有一個(gè)水平向右的初速度v₀，小球B的初速度為零，若取初始狀態(tài)下兩小球構(gòu)成的系統(tǒng)的電勢(shì)能為零，則：

（1）試證明：當(dāng)兩小球的速度相同時(shí)系統(tǒng)的電勢(shì)能最大，并求出該最大值；

（2）在兩小球的間距仍不小于s₀的運(yùn)動(dòng)過程中，求出系統(tǒng)的電勢(shì)能與系統(tǒng)動(dòng)能的比值的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由于兩小球構(gòu)成的系統(tǒng)合外力為零，設(shè)某狀態(tài)下兩小球的速度分別為v_A和v_B，由動(dòng)量守恒定律得

3mv₀=3mv_A+mv_B  ①

所以，系統(tǒng)的動(dòng)能減小量為

ΔE_k=3mv₀²-3mv_A²-mv_B²  ②

由于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中只有電場(chǎng)力做功，所以系統(tǒng)的動(dòng)能與電勢(shì)能之和守恒，考慮到系統(tǒng)初狀態(tài)下電勢(shì)能為零，故該狀態(tài)下的電勢(shì)能可表示為

E_pe=ΔE_k=3mv₀²-3mv_A²-mv_B²  ③

聯(lián)立①③兩式，得E_pe=-6mv_A²+9mv₀v_A-3mv₀²  ④

由④式得：當(dāng)v_A=  ⑤

時(shí)，系統(tǒng)的電勢(shì)能取得最大值，而將⑤式代入①式，得v_A=v_B=  ⑥

即當(dāng)兩小球速度相同時(shí)系統(tǒng)的電勢(shì)能最大，最大值為

E_pemax=。  ⑦

（2）由于系統(tǒng)的電勢(shì)能與動(dòng)能之和守恒，且初始狀態(tài)下系統(tǒng)的電勢(shì)能為零，所以在系統(tǒng)電勢(shì)能取得最大值時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能取得最小值，為

E_kmin=E_k0-E_pemax=3mv₀²-mv₀²=mv₀²  ⑧

由于E_kmin＞E_pemax  ⑨

所以在兩球間距仍不小于s₀的運(yùn)動(dòng)過程中，系統(tǒng)的電勢(shì)能總小于系統(tǒng)的動(dòng)能。

在這過程中兩種能量的比值的取值范圍為

0≤≤=。  ⑩

考查動(dòng)量守恒定律，能量轉(zhuǎn)化和守恒定律。