Question

如圖所示，宇航員站在某質(zhì)量分布均勻的星球表面一斜坡上P點(diǎn)沿水平方向以初速度v₀拋出一個(gè)小球，測得小球經(jīng)時(shí)間t落到斜坡上另一點(diǎn)Q，斜面的傾角為α，已知該星球半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）該星球表面的重力加速度；
（2）該星球的密度；
（3）該星球的第一宇宙速度v；
（4）人造衛(wèi)星繞該星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最小周期T．

Answer 1

（1）設(shè)該星球表現(xiàn)的重力加速度為g，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律：
水平方向：x=v₀t
豎直方向：y=

1

2

gt2
平拋位移與水平方向的夾角的正切值tanα=

y

x

=

1 2 gt2

v0t

得g=

2v0tanα

t

；                   
（2）在星球表面有：G

Mm

R2

=mg，所以M=

gR2

G

該星球的密度：ρ=

3v0tanα

2πRtG

；                                  
（3）由

GMm

R2

=m

v2

R

，可得v=

GM R

，
又GM=gR²，所以v=

2v0Rtanα t

；        
（4）繞星球表面運(yùn)行的衛(wèi)星具有最小的周期，即：
T=

2πR

v

=2πR

t 2v0Rtanα

故答案為：（1）g=

2v0tanα

t

；（2）該星球的密度ρ=

3v0tanα

2πRtG

；（3）該星球的第一宇宙速度v=

2v0Rtanα t

；（4）人造衛(wèi)星繞該星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最小周期2πR

t 2v0Rtanα