Question

19．某三棱鏡的橫截面是一直角三角形，如圖所示，∠A=90°，∠B=30°，∠C=60°，棱鏡材料的折射率為n，底面BC涂黑，一束單色光以與底面BC平行的方向射向AB面，經AB面和AC面兩次折射后射出棱鏡．
（ i）若n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求光線從AC面上射出時的折射角；
（ ii）為使上述入射光線能從AC面射出，求折射率n的最大值．

Answer 1

分析 （i）先根據(jù)折射定律求得光線從AB面上的折射角，結合幾何關系求出折射光線射到AC面時的入射角，再由折射定律求光線從AC面上射出時的折射角；
（ii）要使光線能夠從AC面上射出，入射角應小于臨界角1，根據(jù)臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$和幾何關系結合求出折射率的最大值．

解答 解：（i）第一次在AB面折射時，有：$\frac{sini}{sinα}$=n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
第二次在AC面折射時，有：$\frac{sinγ}{sinβ}$=n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$

由幾何知識得：$α+β=\frac{π}{2}$ 
于是得：α=$\frac{π}{4}$，β=$\frac{π}{4}$
解得第二次折射角：γ=$\frac{π}{3}$
（ii）設臨界角為C₀，則 sinC₀=$\frac{1}{n}$
要使光線能從AC邊射出，須滿足 β≤C₀，即：sinβ≤sinC₀=$\frac{1}{n}$
則cosα≤$\frac{1}{n}$，即sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$≥$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{n}$
又sinα=$\frac{sini}{n}$=$\frac{\sqrt{3}}{2n}$，則 $\frac{\sqrt{3}}{2n}$≥$\frac{\sqrt{{n}^{2}-1}}{n}$
解得 n≤$\frac{\sqrt{7}}{2}$，故折射率的最大值為$\frac{\sqrt{7}}{2}$
答：
（i）若n=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，光線從AB面上射出時的折射角是$\frac{π}{3}$；
（ii）為使上述入射光線能從AC面射出，折射率n的最大值為$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點評 本題考查了折射定律和全反射條件的基本運用，關鍵要作出光路圖，運用折射定律、臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$和幾何關系結合進行研究．