Question

如圖所示，一根一端封閉的玻璃管，當(dāng)l=0.96m，內(nèi)有一段長h₁=0.20m的水銀柱。當(dāng)溫度為t₁=27℃，開口端豎直向上時，封閉空氣柱h₂=0.60m。問溫度至少升到多高時，水銀柱才能從管中全部溢出？（外界大氣壓相當(dāng)于l₀=0.76m高的水銀柱產(chǎn)生的壓強(qiáng)）

Answer 1

385.2K

【錯解分析】錯解：以封閉氣體為研究對象，其初態(tài)：p₁=(l₀+h₁)，V₁=h₂S下；末態(tài)是水銀剛好完全溢出時的狀態(tài)：p₂=l₀，V₂=lS
根據(jù)氣態(tài)方程：
解得：
帶入數(shù)據(jù)得 
上述解答中有一個錯誤，就是存在“潛在假設(shè)”。即認(rèn)為：水銀柱在外溢過程中，氣體體積越大，對應(yīng)溫度越高，當(dāng)氣體充滿整個玻璃管（即水銀全部溢出）時，所對應(yīng)的溫度是最高的。事實(shí)是：
根據(jù)氣態(tài)方程，由此可見，PV的乘積越大，對應(yīng)的溫度越高。在水銀末溢出前，p不變，V越大，T越大。在水銀溢出的過程中，p減小，V增大，p·V的乘積并非一直增大。所以我們在解題的過程中，應(yīng)找出在什么條件下，pV的乘積最大，由此確定相應(yīng)的溫度。
【正解】由氣態(tài)方程，可知，PV乘積越大，對應(yīng)的溫度T越高，假設(shè)管中還有長為X的水銀柱尚未溢出時，pV值最大，即（l₀+x）（l-x）S的值最大，這是一個數(shù)學(xué)求極值問題。因?yàn)椋╨₀+x）+（l-x）=（l₀+l）與x的大小無關(guān)，所以由數(shù)學(xué)知識可知：兩數(shù)之和為一常數(shù)，則當(dāng)這兩數(shù)相等時，其乘積最大。
所以：l₀+x=l-x
解得：
即管內(nèi)水銀柱由0.20m溢出到還剩下0.10m的過程中，p·V的乘積越來越大，這一過程必須是升溫的。此后，溫度不必再升高（但要繼續(xù)給氣體加熱），水銀柱也將繼續(xù)外溢，直至完全溢出。由氣態(tài)方程：

有：
代入數(shù)據(jù)得：T₂=385.2K。