Question

V一探險(xiǎn)隊(duì)員在探險(xiǎn)時(shí)遇到一山溝，山溝的一側(cè)豎直，另一側(cè)的坡面呈拋物線形狀．此隊(duì)員從山溝的豎直一側(cè)，以速度v₀沿水平方向跳向另一側(cè)坡面．如圖所示，以溝底的O點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Oxy．已知，山溝豎直一側(cè)的高度為2h，坡面的拋物線方程為y=

1

2h

x²，探險(xiǎn)隊(duì)員的質(zhì)量為m．人視為質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力，重力加速度為g．
（1）求此人落到坡面時(shí)的動(dòng)能；
（2）此人水平跳出的速度為多大時(shí)，他落在坡面時(shí)的動(dòng)能最��？動(dòng)能的最小值為多少？

Answer 1

分析：（1）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律列出等式．由整個(gè)過程中根據(jù)由動(dòng)能定理求解
（2）根據(jù)動(dòng)能的表達(dá)式應(yīng)用數(shù)學(xué)方法求解．

解答：解：（1）設(shè)探險(xiǎn)隊(duì)員跳到坡面上時(shí)水平位移為x，豎直位移為H，
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：x=v₀t，H=

1

2

gt2，
整個(gè)過程中，由動(dòng)能定理可得：mgH=E_K-

1

2

m

v

2 0

由幾何關(guān)系，y=2h-H
坡面的拋物線方程y=

1

2h

x²
解以上各式得：E_K=

1

2

m

v

2 0

+

2mg2h2

v 2 0 +gh

（2）由E_K=

1

2

m

v

2 0

+

2mg2h2

v 2 0 +gh

令

v

2 0

=ngh，則E_K=

n

2

mgh+

2mgh

n+1

=mgh（

n

2

+

2

n+1

）
當(dāng)n=1時(shí)，即

v

2 0

=gh，
探險(xiǎn)隊(duì)員的動(dòng)能最小，最小值為E_min=

3mgh

2

v₀=

gh

答：（1）此人落到坡面時(shí)的動(dòng)能是

1

2

m

v

2 0

+

2mg2h2

v 2 0 +gh

；
（2）此人水平跳出的速度為

gh

時(shí)，他落在坡面時(shí)的動(dòng)能最小，動(dòng)能的最小值為

3mgh

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平拋運(yùn)動(dòng)和動(dòng)能定理的應(yīng)用，以及函數(shù)最值的計(jì)算，意在考查考生的綜合分析及數(shù)學(xué)計(jì)算能力．