Question

（2010?上海模擬）如圖所示為放置在豎直平面內(nèi)游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細(xì)均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長均為L=3m，圓弧形軌道APD和BQC均光滑，BQC的半徑為r=1m，APD的半徑為R=2m，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，O₂A、O₁B與豎直方向的夾角均為θ=37°．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=1kg的小球穿在滑軌上，以E_k0的初動能從B點(diǎn)開始沿AB向上運(yùn)動，小球與兩段直軌道間的動摩擦因數(shù)均為μ=

1

3

，設(shè)小球經(jīng)過軌道連接處均無能量損失．（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）要使小球完成一周運(yùn)動回到B點(diǎn)，初動能E_K0至少多大？
（2）若以題（1）中求得的最小初動能E_K0從B點(diǎn)向上運(yùn)動，求小球第二次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的動能；
（3）若以題（1）中求得的最小初動能E_K0從B點(diǎn)向上運(yùn)動，求小球在CD段上運(yùn)動的總路程．

Answer 1

分析：（1）要使小球能夠向上運(yùn)動并回到B點(diǎn)，有兩個(gè)臨界條件的要求：一是要使小球能夠通過圓弧APD的最高點(diǎn)，二是通過了圓弧APD的最高點(diǎn)后還能夠再次到達(dá)B點(diǎn)．根據(jù)能量守恒分別求出小球恰好通過圓弧APD的最高點(diǎn)以及恰好到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的初動能，比較兩種情況下的初動能，從而得出初動能E_K0的最小值．
（2）根據(jù)動能定理求出小球從B點(diǎn)出發(fā)又回到B點(diǎn)時(shí)的動能，根據(jù)動能定理判斷其能上升的最大高度，若不能上滑到最高點(diǎn)，由于重力的分力大于滑動摩擦力，小球會下滑，求出小球在AB桿上摩擦產(chǎn)生的熱量．根據(jù)能量守恒求出第二次經(jīng)過D點(diǎn)的動能．
（3）通過第二問解答知小球能夠第二次到達(dá)D點(diǎn)，根據(jù)能量守恒定律討論小球能否第二次通過D點(diǎn)返回后上升到B點(diǎn)，從而確定小球的運(yùn)動情況，最后根據(jù)動能定理求出小球在CD段上運(yùn)動的總路程．

解答：解：（1）若要使小球能夠通過圓弧APD的最高點(diǎn)，因?yàn)樾∏蚴谴┰跅U上，所以到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度可以為0．
   由能量守恒得：E_k0=mg[Lsinθ+（R-Rcosθ）]+μmgLcosθ
代入數(shù)據(jù)解得：E_k0=30J．
 假若僅使小球恰好到達(dá)B點(diǎn)，即到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度恰好為0，則由能量守恒：E_k0=μmgLcosθ+μmgL
代入數(shù)據(jù)解得：E_k0=18J．
故要使小球能再次回到B點(diǎn)，至少需要30J的初動能．
（2）當(dāng)小球在B點(diǎn)以E_k0=30J向上運(yùn)動，再次回到B點(diǎn)時(shí)，小球的動能E_k1，由動能定理：E_k1-E_k0=-μmgLcosθ-μmgL，所以：E_k1=E_k0-μmgLcosθ-μmgL=30-18=12J
假設(shè)小球經(jīng)過B點(diǎn)后，還能沿AB上升x，由動能定理：0-E_k1=-mgxsinθ+（-μmgcosθx）
解得：x=

Ek1

mgsinθ+μmgcosθ

=

12

1×10×0.6+ 1 3 ×1×10×0.8

=

18

13

m
在AB桿上，由于mgsinθ＞μmgcosθ，所以小球?qū)⒃俅蜗禄�，在AB桿上因摩擦而發(fā)的熱：Q1=2μmgcosθ?x=2×

1

3

×1×10×0.8×

18

13

=

96

13

J
當(dāng)小球第二次回到D點(diǎn)時(shí)，由能量守恒得：mg（r+rcosθ）+E_k1=Q₁+μmgL+E_kD
所以：EkD=mg(r+rcosθ)+Ek1-Q1-μmgL=

164

13

J≈12.6J
故小球第二次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的動能為12.6J．
（3）小球到達(dá)D點(diǎn)后，將沿光滑的圓弧面APB上升，但到不了最高點(diǎn)，將再次滑回D點(diǎn)，且EkD=

164

13

J．
假若要使小球還能夠返回B點(diǎn)，則要求在D點(diǎn)時(shí)具有的動能為：μmgL+mg（r+rcosθ）=28J＞E_kD；    
所以小球?qū)�無法再次回B點(diǎn)，而只能在光滑圓弧APD和BQC及DC間作來回往復(fù)的運(yùn)動，最終小球?qū)⑼Ｔ贒C上，此時(shí)小滑在DC上滑過的總路程為S'，
由E_kD=μmgS'得：S′=

EkD

μmg

=

164 13

1 3 ×1×10

=

246

65

m
所以S總=2L+S′=6+

246

65

=

636

65

m=9.78m
故小球在CD段上運(yùn)動的總路程為9.78m．

點(diǎn)評：本題過程較復(fù)雜，關(guān)鍵是理清過程，搞清運(yùn)動規(guī)律，合適地選擇研究的過程，運(yùn)用動能定理和能量守恒定律進(jìn)行解題．