Question

兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)朝同一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知地球半徑為R，衛(wèi)星1離地面的高度為R，衛(wèi)星2離地面的高度為3R．求：
（1）兩顆衛(wèi)星的周期T₁：T₂？
（2）若某一時(shí)刻兩顆衛(wèi)星相距最近，則衛(wèi)星1至少經(jīng)過多少個(gè)T₁它們再相距最近？

Answer 1

（1）兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)朝同一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)萬有引力提供向心力

GMm

r2

=m

4π2r

T2

周期T=2π

r3 GM

衛(wèi)星1離地面的高度為R，衛(wèi)星2離地面的高度為3R，所以兩衛(wèi)星的軌道分別為：R₁=2R，R₂=4R
所以兩顆衛(wèi)星的周期T₁：T₂=1：2，
（2）設(shè)經(jīng)過t時(shí)間 二者第一次相距最遠(yuǎn)，若兩衛(wèi)星同向運(yùn)轉(zhuǎn)，此時(shí)a比b多轉(zhuǎn)π角度，則：

2π

T1

?t-

2π

T2

?t=π
這段時(shí)間a經(jīng)過的周期數(shù)為：n=

t

T1

解得：n=

4+ 2

7

．
答：（1）兩顆衛(wèi)星的周期T₁：T₂=1：2，
（2）若某一時(shí)刻兩顆衛(wèi)星相距最近，則衛(wèi)星1至少經(jīng)過

4+ 2

7

個(gè)T₁它們再相距最近．