Question

3．如圖所示，半徑為R的光滑半圓軌道AB豎直固定在一水平光滑的桌面上，軌道最低點(diǎn)B與桌面相切并平滑連接，桌面距水平地面的高度也為R．在桌面上輕質(zhì)彈簧被a、b兩個(gè)小球擠壓（小球與彈簧不拴接），處于靜止?fàn)顟B(tài)．已知a球的質(zhì)量為m₀，a、b兩球質(zhì)量比為2：3．固定小球b，釋放小球a，a球與彈簧分離后經(jīng)過(guò)B點(diǎn)滑上半圓環(huán)軌道并恰能通過(guò)軌道最高點(diǎn)A．現(xiàn)保持彈簧形變量不變同時(shí)釋放a、b兩球，重力加速度取g，求：
（1）釋放小球前彈簧具有的彈性勢(shì)能E_p；
（2）b球落地點(diǎn)距桌子右端C點(diǎn)的水平距離；
（3）a球在半圓軌道上上升的最大高度H．

Answer 1

分析 （1）由豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的條件求出a經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)的速度，由機(jī)械能守恒即可求出彈簧的彈性勢(shì)能；
（2）由動(dòng)量守恒與機(jī)械能守恒求出a與b的速度，由平拋運(yùn)動(dòng)即可求出b球落地點(diǎn)距桌子右端C點(diǎn)的水平距離；
（3）由機(jī)械能守恒即可求出a球在半圓軌道上上升的最大高度H．

解答 解：（1）設(shè)a、b兩球的質(zhì)量為m_a、m_b，由已知得m_a=m₀，m_b=1.5m₀．a(chǎn)球在B點(diǎn)時(shí)的速度為v_B，恰能通過(guò)半圓環(huán)軌道最高點(diǎn)A時(shí)的速度為v_A，
則有 ${m}_{a}g={m}_{a}\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$    ①
輕彈簧具有的彈性勢(shì)能釋放時(shí)全部轉(zhuǎn)化成小球a的機(jī)械能，a球從釋放到運(yùn)動(dòng)至A點(diǎn)過(guò)程中機(jī)械能守恒，則有
E_p=$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{a}^{2}+{m}_{a}g•2R=2.5{m}_{a}gR$     ②
（2）以a、b、彈簧為研究對(duì)象，彈開時(shí)系統(tǒng)動(dòng)量守恒、能量守恒，a、b的速度分別為v_a、v_b，選取向左為正方向，則有：m_av₁+m_bv₂=0  ③
由機(jī)械能守恒得：$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{v}_{2}^{2}={E}_{p}$    ④
又：a、b兩球質(zhì)量比為2：3
聯(lián)立解得：v₁=$\sqrt{3gR}$，v₂=$\frac{2\sqrt{3gR}}{3}$   ⑤
b球離開桌面后平拋，R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$     ⑥
水平方向的位移：x=v₂t    ⑦
聯(lián)立解得：x=$\frac{2\sqrt{6}}{3}R$
（3）設(shè)a球上升至最大高度時(shí)速度為0，則有：$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{1}^{2}={m}_{a}gH$，
解得：H=1.5R＞R，可見(jiàn)a球會(huì)在某處脫離半圓軌道
設(shè)脫離時(shí)a球速度為v，脫離位置半徑與豎直方向的夾角為α，如圖所示
根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式有：${m}_{a}gsinα=\frac{{m}_{a}{v}^{2}}{R}$   ⑧
根據(jù)幾何關(guān)系有cosα=$\frac{H-R}{R}$  ⑨
根據(jù)機(jī)械能守恒有 $\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{1}^{2}={m}_{a}gH+\frac{1}{2}{m}_{a}{v}^{2}$=10  ⑩
解得H=$\frac{4}{3}R$
答：（1）釋放小球前彈簧具有的彈性勢(shì)能為2.5m_agR；
（2）b球落地點(diǎn)距桌子右端C點(diǎn)的水平距離為$\frac{2\sqrt{6}}{3}R$；
（3）a球在半圓軌道上上升的最大高度H為$\frac{4}{3}R$．

點(diǎn)評(píng) 該題涉及的過(guò)程比較多，應(yīng)用的公式多，在解答的過(guò)程中尤其要注意的是，開始時(shí)a恰好經(jīng)過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)，在第二種情況下則不能經(jīng)過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)，所以要比較a到達(dá)的最大高度會(huì)不會(huì)大于R．