Question

（2007?南京模擬）一根長為L質(zhì)量為m的均勻柔軟的鏈條懸掛在天花板上，且下端正好接觸地板．若松開懸點，讓鏈條自由下落．鏈條著地不反彈．
（1）求從開始釋放到鏈條恰好全部著地的過程中，地板受到的平均沖力．
（2）試證明，在下落過程中，鏈條對地板的作用力等于已落在地板上的那段鏈條重力的三倍．

Answer 1

分析：（1）從開始釋放到鏈條恰好全部著地的過程，可以看做質(zhì)量都集中在整個鏈條的重心，從重心位置落到地面上時受到的平均沖力，根據(jù)動量定理即可求解；
（2）設(shè)鏈條單位長度的質(zhì)量為m₀，當(dāng)有長為l的鏈條落地時，落地部分的重力為m₀lg，根據(jù)自由落體運動速度位移公式求出正著地的質(zhì)量元△m的速度，根據(jù)動量定理列式求解．

解答：解：（1）從開始釋放到鏈條恰好全部著地的過程，可以看做質(zhì)量都集中在整個鏈條的重心，從重心位置落到地面的過程，
設(shè)重心到達(dá)地面的速度為v，則：v²=2gh
解得：v=

2gh

=

gL

運動的時間t=

2h g

=

L g

根據(jù)動量定理得：
mv=Ft
解得：F=

m gL

L g

=mg
（2）設(shè)鏈條單位長度的質(zhì)量為m₀，當(dāng)有長為l的鏈條落地時，落地部分的重力為m₀lg，即其對地板的壓力為F₁=mg=m₀lg．
這時，鏈條的下落速度

2gl

，也即正著地的質(zhì)量元△m的速度為

2gl

．
設(shè)在△t時間內(nèi)，質(zhì)量元的速度減為零，在不計重力的條件下，它對地板的平均沖力為F2=

△P

△t

=

mv

△t

=

m0v△tv

△t

=m0v2，
所以鏈條對地板的作用力為 F=F₁+F₂=m₀lg+m₀v²=3mg，正好等于已落地那段鏈條重力的三倍
答：（1）從開始釋放到鏈條恰好全部著地的過程中，地板受到的平均沖力為mg．
（2）證明如上．

點評：本題主要考查了動量定理及自由落體運動基本公式的直接應(yīng)用，理解微元法的應(yīng)用，難度適中．