Question

如圖所示，傾角為α的斜面體（斜面光滑且足夠長）固定在水平地面上，斜面頂端與勁度系數為k、自然長度為l的輕質彈簧相連，彈簧的另一端連接著質量為m的物塊．壓縮彈簧使其長度為

3

4

L時將物塊由靜止開始釋放（物快做簡諧運動），且物塊在以后的運動中，斜面體始終處于靜止狀態(tài)．重力加速度為g．
（1）求物塊處于平衡位置時彈簧的長度；
（2）物塊做簡諧運動的振幅是多少；
（3）選物塊的平衡位置為坐標原點，沿斜面向下為正方向建立坐標軸，用x表示物塊相對于平衡位置的位移，證明物塊做簡諧運動；（已知做簡諧運動的物體所受的恢復力滿足 F=-kx）

Answer 1

分析：（1）物體平衡時，受重力、支持力和彈簧的彈力，三力平衡，根據平衡條件并結合正交分解法和胡克定律列式求解；
（2）物塊做簡諧運動的振幅等于物體處于平衡位置時彈簧的伸長量與開始的壓縮量的和；
（3）簡諧運動中，合力充當回復力，滿足條件F=-kx．

解答：解：（1）物體平衡時，受重力、支持力和彈簧的彈力，根據平衡條件，有：
mgsinα=k?△x
解得：△x=

mgsinα

k

故彈簧的長度為L+

mgsinα

k

；
（2）物體做簡諧運動的振幅為：
A=△x+

1

4

L=

mgsinα

k

+

L

4

；
（3）物體到達平衡位置下方x位置時，彈力為：k（x+△x）=k（x+

mgsinα

k

）；
故合力為：F=mgsinα-k（x+

mgsinα

k

）=-kx；
故物體做簡諧運動；
答：（1）物塊處于平衡位置時彈簧的長度為L+

mgsinα

k

；
（2）物塊做簡諧運動的振幅是

mgsinα

k

+

L

4

；
（3）證明如上．

點評：本題關鍵是對滑塊受力分析，利用簡諧運動的對稱性求解彈簧最大伸長量，明確簡諧運動的條件是回復力滿足：F=-kx．