Question

如圖中上圖所示，有兩塊大小不同的圓形薄板（厚度不計(jì)），質(zhì)量分別為M和m，半徑分別為R和r，兩板之間用一根長(zhǎng)為0.4m不可伸長(zhǎng)的輕繩連接．開(kāi)始時(shí)，兩板水平放置并疊合在一起，靜止于高度為0.2m處．兩板釋放后自由下落到一固定支架C上，支架上有一半徑為R′（r＜R′＜R）的圓孔，圓孔與兩薄板中心均在圓板中心軸線(xiàn)上，木板與支架發(fā)生碰撞碰，碰撞過(guò)程中無(wú)機(jī)械能損失．撞后兩板立刻分離，直到輕繩繃緊．輕繩繃緊的瞬間，兩物體具有共同速度V，如圖中下圖所示． （g=10m/s²）求：
（1）若M=m，則V值為多大？
（2）若M/m=K，試討論 V的方向與K值間的關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）開(kāi)始 M與m自由下落，機(jī)械能守恒．M與支架C碰撞后，碰撞過(guò)程中無(wú)機(jī)械能損失，M以原速率返回，向上做勻減速運(yùn)動(dòng)．m向下做勻加速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)M與m的位移大小之和等于繩長(zhǎng)時(shí)，繩子繃緊，根據(jù)位移公式和位移之和等于繩長(zhǎng)求出時(shí)間，由速度公式求出繩繃緊前兩物體的速度．在繩繃緊瞬間，內(nèi)力（繩拉力）很大，可忽略重力，認(rèn)為在豎直方向上M與m系統(tǒng)動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出V．
（2）根據(jù)V與K的關(guān)系式，討論分析V的方向．
解答：解：（1）M和m一起下落過(guò)程，據(jù)機(jī)械能守恒得：
（M+m）gh=（M+m）V²       
解得：V═2m/s （2分）
M碰撞支架后以Vo返回作豎直上拋運(yùn)動(dòng)，m向下做勻加速運(yùn)動(dòng)．在繩繃緊瞬間，M速度為V₁，上升高度為h₁，m的速度為V₂，下落高度為h₂．設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t繩子繃緊，則：
     h₁=Vt-gt²
     h₂=Vt+gt²
又   h₁+h₂=0.4m 
得到：h₁+h₂=2Vt，
解得：t=0.1s．
所以：V₁=V-gt=2-10×0.1=1m/s 
      V₂=V+gt=2+10×0.1=3m/s
繩子繃緊過(guò)程，取向下為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒得：
   mV₂-MV₁=（M+m）V，
那么當(dāng)m=M時(shí)，V=1m/s，方向向下；
（2）當(dāng)=K時(shí)，V==．
討論：①K＜3時(shí)，V＞0，兩板速度方向向下．
②K＞3時(shí)，V＜0，兩板速度方向向上．
③K=3時(shí)，V=0，兩板瞬時(shí)速度為零，接著再自由下落．
答：（1）若M=m，V值為1m/s．
    （2）當(dāng)=K時(shí)，①K＜3時(shí)，V＞0，兩板速度方向向下．②K＞3時(shí)，V＜0，兩板速度方向向上．③K=3時(shí)，V=0，兩板瞬時(shí)速度為零，接著再自由下落．
點(diǎn)評(píng)：此題涉及四個(gè)過(guò)程：兩物體一起自由下落、M與板碰撞、兩物體分別向下和向上運(yùn)動(dòng)、繩繃緊，將全過(guò)程分成若干個(gè)子過(guò)程進(jìn)行研究，同時(shí)尋找各個(gè)過(guò)程的規(guī)律，這是解決復(fù)雜問(wèn)題的基本思想．
求“撞后兩板立刻分離，直到輕繩繃緊”的時(shí)間也可用相對(duì)運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求解（兩物體做相對(duì)速度為4m/s、相對(duì)位移為0.4m的勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)），可以簡(jiǎn)化過(guò)程．