Question

4．同心圓形金屬軌道固定在同一個水平面內(nèi)，內(nèi)層軌道半徑為r，外層軌道半徑為2r，電阻忽略不計，一個質(zhì)量分布均勻，不計電阻的直導(dǎo)體棒AB，長為r，質(zhì)量為m，置于圓形軌道上面，AB延長線通過圓的軌道中心，整個裝置如圖所示，整個裝置處于一個方向豎直向下，大小為B的勻強磁場中，在內(nèi)、外軌道之間（c點和d點）接有一個電阻為R的定值電阻，直導(dǎo)體棒在水平外力的作用下，以角速度ω可繞圓心逆時針勻速轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動過程中，始終與軌道保持良好接觸，設(shè)軌道與導(dǎo)體之間，動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g，求：
（1）通過電阻R上的感應(yīng)電流大小和方向；
（2）外力的功率．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)體棒在△t時間內(nèi)掃過的面積，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律求解感應(yīng)電流的大小，根據(jù)右手定則得到電阻R的電流方向；
（2）求出兩導(dǎo)軌對運行的導(dǎo)體棒的滑動摩擦力和導(dǎo)體棒在內(nèi)外軌道上掃過的弧長，根據(jù)能量守恒定律和功率的計算公式求解外力的功率．

解答 解：（1）在△t時間內(nèi)，導(dǎo)體棒掃過的面積為：
△S=$\frac{1}{2}ω•△t[（2r）^{2}-{r}^{2}]$=$\frac{3}{2}ω{r}^{2}△t$，
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢大小為：E=$\frac{B•△S}{△t}$，
根據(jù)右手定則，感應(yīng)電流方向是從A端流向B端，因此電阻R的電流方向是從D端流向C端；
根據(jù)歐姆定律可得，通過電阻R的感應(yīng)電流的大小為I=$\frac{E}{R}$，
解得：I=$\frac{3Bω{r}^{2}}{2R}$；
（2）在豎直方向有：mg-2F_N=0，
兩導(dǎo)軌對運行的導(dǎo)體棒的滑動摩擦力均為：f=μF_N，
在△t時間內(nèi)，導(dǎo)體棒在內(nèi)外軌道上掃過的弧長為L₁=rω△t，L₂=2rω△t
克服摩擦力做的總功為W_f=f（L₁+L₂），
在△t時間內(nèi)消耗在電阻R上的功為：W_R=I²R△t，
根據(jù)能量守恒定律知，外力在△t時間內(nèi)做的功為：W=W_f+W_R，
外力的功率為P=$\frac{W}{△t}$，
解得：P=$\frac{3}{2}μmgrω+\frac{9{B}^{2}{ω}^{2}{r}^{4}}{4R}$．
答：（1）通過電阻R上的感應(yīng)電流大小為$\frac{3Bω{r}^{2}}{2R}$，方向從D端流向C端；
（2）外力的功率為$\frac{3}{2}μmgrω+\frac{9{B}^{2}{ω}^{2}{r}^{4}}{4R}$．

點評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動能定理、功能關(guān)系等列方程求解．