Question

12．如圖甲所示，在光滑的水平面上有一有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，質(zhì)量為m、電阻為R的矩形線圈abcd邊長(zhǎng)分別為L(zhǎng)和2L，線圈一半在磁場(chǎng)內(nèi)，一半在磁場(chǎng)外，開(kāi)始時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．t=0時(shí)刻，磁感應(yīng)強(qiáng)度開(kāi)始均勻減小，線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流，在安培力作用下運(yùn)動(dòng)，其v-t圖象如圖乙所示，圖中斜向虛線為過(guò)O點(diǎn)速度圖線的切線，數(shù)據(jù)由圖中給出，求：

（1）由開(kāi)始到t₂時(shí)刻安培力所做的功．
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率．
（3）t₂時(shí)刻回路的電功率．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用動(dòng)能定理，即可求解安培力做功；
（2）由法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律結(jié)合求出t=0時(shí)刻線圈中感應(yīng)電流的表達(dá)式．由v-t圖象上某一點(diǎn)切線斜率等于加速度，可求出t=0時(shí)刻線圈加速度．根據(jù)牛頓第二定律求得安培力，即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率；
（3）線圈t₂時(shí)刻開(kāi)始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，分析在t₂時(shí)刻線圈可能處于位置狀態(tài)．若磁場(chǎng)沒(méi)有消失，但線圈完全進(jìn)入磁場(chǎng)，由于磁感應(yīng)強(qiáng)度開(kāi)始均勻減小，會(huì)產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)，由ab和cd兩邊切割磁感線產(chǎn)生的動(dòng)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)抵消．

解答 解：（1）線圈在水平面上僅受安培力的作用，
由開(kāi)始到t₂時(shí)刻的過(guò)程中，由動(dòng)能定理得：
W_安=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-0．　
解得：安培力所做的功W_安=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
（2）從圖線可知，t=O時(shí)刻線圈速度為零，圖中斜向虛線為過(guò)0點(diǎn)速度曲線的切線，
所以加速度為：a=$\frac{{v}_{0}}{{t}_{1}}$；
此時(shí)刻線框中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=$\frac{△∅}{△t}$=L²$\frac{△B}{△t}$；   
I=$\frac{E}{R}$=$\frac{{L}^{2}}{R}$•$\frac{△B}{△t}$；
由F=B₀IL=$\frac{{B}_{0}{L}^{3}}{R}$•$\frac{△B}{△t}$=ma；
可解得：$\frac{△B}{△t}$=$\frac{m{v}_{0}R}{{B}_{0}{t}_{1}{L}^{3}}$；
（3）線圈在t₂時(shí)刻開(kāi)始做勻速運(yùn)動(dòng)，在t₂時(shí)刻應(yīng)有兩種可能：
一是，線圈沒(méi)有完全進(jìn)入磁場(chǎng)，磁場(chǎng)就消失，線框內(nèi)沒(méi)有感應(yīng)電流，回路電功率P=O；
二是，磁場(chǎng)沒(méi)有消失，但線圈完全進(jìn)入磁場(chǎng)，盡管有感應(yīng)電流，但各邊所受磁場(chǎng)力的合力為零，由ab和cd兩邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)抵消．
E′=$\frac{△∅}{△t}$=2L²$\frac{△B}{△t}$
回路電功率P=$\frac{E{′}^{2}}{R}$=$\frac{（2{L}^{2}\frac{△B}{△t}）^{2}}{R}$=$\frac{4{m}^{2}{v}_{0}^{2}R}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}{t}_{1}^{2}}$；
答：（1）由開(kāi)始到t₂時(shí)刻安培力所做的功$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$．
（2）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率$\frac{m{v}_{0}R}{{B}_{0}{t}_{1}{L}^{3}}$．
（3）t₂時(shí)刻回路的電功率$\frac{4{m}^{2}{v}_{0}^{2}R}{{B}_{0}^{2}{L}^{2}{t}_{1}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與速度圖象的綜合．對(duì)于圖象問(wèn)題，我們要清楚某一點(diǎn)切線斜率的物理意義．關(guān)鍵要能把電磁感應(yīng)與動(dòng)力學(xué)和電路知識(shí)結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題．