Question

如圖甲所示，建立Oxy坐標系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關于x軸對稱，極板長度和板間距均為l，第一四象限有磁場，方向垂直于Oxy平面向里．位于極板左側的粒子源沿x軸向右連續(xù)發(fā)射質量為m、電量為+q、速度相同、重力不計的帶電粒子．在兩板間加上如圖乙所示的周期性變化的電壓（不考慮極板邊緣的影響）．已知t=0時刻進入兩板間的帶電粒子恰好在2t₀時刻經極板邊緣射入磁場．上述m、q、l、t₀、B為已知量．（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）（若tanθ=b，θ∈（-

π

2

，

π

2

），則θ=arctan b）
（1）求兩極板間電壓U₀的大�。�
（2）求t₀=0時進入兩板間的帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑．
（3）何時進入兩板間的帶電粒子在磁場中的運動時間最短？求此最短時間．

Answer 1

分析：（1）首先求出電容器加有電壓時的電場強度，從而求出有電場時的加速度，把粒子的運動在豎直方向上分為兩段，先是勻加速運動，后是勻速運動，在豎直方向上，這兩段位移的和大小上等于板間距離的一半．列式即可求出電壓．
（2）當t₀=0時，粒子進入電場，根據已知條件求出離開電場時水平方向上的速度和豎直方向上的速度，即可求出和速度的大小，結合半徑公式即可求出在勻強磁場中做圓周運動的半徑．
（3）帶電粒子在磁場中的運動時間最短，即為進入磁場時速度方向與y軸的夾角最小的情況，當在電場中偏轉的角度最大時，在磁場中的運動時間最短，畫出離子運動的軌跡圖，結合幾何知識即可求出最短時間．

解答：解：
（1）t=0時刻進入兩極板的帶電粒子在電場中做勻變速曲線運動，2t₀時刻剛好從極板邊緣射出，在y軸負方向偏移的距離為

l

2

，則有：
E=

U0

l

…①
Eq=ma …②
 

l

2

=

1

2

a

t

2 0

+a

t

2 0

…③
聯立以上三式，解得兩極板間偏轉電壓為：U0=

l2m

3q t 2 0

 …④
（2）t₀=0時刻進入兩極板的帶電粒子，前t₀時間在電場中偏轉，后t₀時間兩極板沒有電場，帶電粒子做勻速直線運動．
帶電粒子沿x軸方向的分速度大小為：v0=

l

2t0

…⑤
帶電粒子離開電場時沿y軸負方向的分速度大小為：v_y=at₀…⑥
帶電粒子離開電場時的速度大小為：v=

v 2 x + v 2 y

…⑦
設帶電粒子離開電場進入磁場做勻速圓周運動的半徑為R，則有：Bqv=m

v2

R

…⑧
聯立③⑤⑥⑦⑧式解得：R=

40 13 ml

6qBt0

…⑨
（3）2t₀時刻進入兩極板的帶電粒子在磁場中運動時間最短．帶電粒子離開電場時沿y軸正方向的分速度為：vy′=at0…⑩
設帶電粒子離開電場時速度方向與y軸正方向的夾角為α，則：tanα=

v0

vy′

聯立③⑤⑩式解得：α=arctan1.5
粒子在磁場運動的軌跡圖如圖所示，圓弧所對的圓心角為：
2α=2arctan1.5
所求最短時間為：t=

2α

2π

T
帶電粒子在磁場中運動的周期為：T=

2πm

qB

聯立以上兩式解得：tmin=

2marctan1.5

qB

（其實，在t₀到2t₀之間進入兩極板的帶電粒子在磁場中運動時間相同，都是最短．）
答：（1）求兩極板間電壓U₀的大小為

l2m

3q t 2 0

．
（2）求t₀=0時進入兩板間的帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑為

40 13 ml

6qBt0

．
（3）在t₀到2t₀之間進入兩極板的帶電粒子在磁場中運動時間最短，最短時間為

2marctan1.5

qB

．

點評：該題考查到的知識點較多，首先是考察到了離子在勻強電場中的偏轉，并且電場還是變化的，這就要求我們要有較強的過程分析能力，對物體的運動進行分段處理；還考察到了離子在勻強磁場中的偏轉，要熟練的會用半徑公式和周期公式解決問題；在解決粒子在有界磁場中的運動時間問題時，要注意偏轉角度與運動時間的關系，熟練的運用幾何知識解決問題．是一道難度較大的題．