Question

3．一個(gè)粗細(xì)均勻的矩形線框，長(zhǎng)、寬分別為2l和l，線框的電阻為r，在紙面內(nèi)有垂直紙面向里的有界磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，線框左側(cè)的四分之一位于磁場(chǎng)中，線框可繞位于磁場(chǎng)邊界的軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)使線框以角速ω繞OO′勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，則線框產(chǎn)生的電功率為（　　）

• A． $\frac{3{B}^{2}{l}^{4}{ω}^{2}}{2r}$
• B． $\frac{3{B}^{2}{l}^{4}{ω}^{2}}{4r}$
• C． $\frac{5{B}^{2}{l}^{4}{ω}^{2}}{8r}$
• D． $\frac{5{B}^{2}{l}^{4}{ω}^{2}}{4r}$

Answer 1

分析 根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)公式得出切割的最大值，從而得出不同時(shí)間段內(nèi)產(chǎn)生的正弦式交流電電流隨時(shí)間的變化規(guī)律，根據(jù)右手定則或楞次定律得出感應(yīng)電流的方向，作出對(duì)應(yīng)的圖線．結(jié)合有效值的定義式求出該電流的有效值即可求得產(chǎn)生的電功率．

解答 解：（1）從圖示位置開(kāi)始計(jì)時(shí)，在0-$\frac{T}{4}$的時(shí)間內(nèi)，線圈產(chǎn)生正弦交流電，表達(dá)式為：e=$\frac{1}{2}$Bl²ωsinωt，
電流為：$i=\frac{e}{r}=\frac{B{l}^{2}ωsinωt}{2r}$，
從0變?yōu)?\frac{B{l}^{2}ωsinωt}{2r}$，在$\frac{T}{4}-\frac{3T}{4}$時(shí)間內(nèi)，線圈的aMNb部分進(jìn)入磁場(chǎng)，切割磁感線產(chǎn)生電流，相當(dāng)于電源，電動(dòng)勢(shì)從最大值減小到零，再?gòu)牧阍黾拥阶畲笾�，電流仍是正弦式交流電，最大值�?{E}_{m}=\frac{3}{2}B{l}^{2}ω$，
最大電流為：${I}_{m}=\frac{{E}_{m}}{R}=\frac{3B{l}^{2}ω}{2r}$，
在$\frac{3T}{4}$-T時(shí)間內(nèi)，切割磁感線產(chǎn)生電流，電流由最大$\frac{B{l}^{2}ω}{2r}$到零，按正弦函數(shù)規(guī)律變化． 
在一個(gè)周期內(nèi)可分為兩部分，有半個(gè)周期內(nèi)的電流最大值為$\frac{B{l}^{2}ω}{2r}$，另外半個(gè)周期內(nèi)的最大值為$\frac{3B{l}^{2}ω}{2r}$，
根據(jù)有效值的定義知：$（\frac{B{l}^{2}ω}{2\sqrt{2}r}）^{2}r•\frac{T}{2}+（\frac{3B{l}^{2}ω}{2\sqrt{2}r}）^{2}r•\frac{T}{2}$=I²rT．
解得電流的有效值為：I=$\frac{\sqrt{10}B{l}^{2}ω}{4r}$
產(chǎn)生的熱功率為P=I²r=$\frac{5{B}^{2}{l}^{4}{ω}^{2}}{8r}$
故選：C

點(diǎn)評(píng) 線圈有一部分在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，另一部分在磁場(chǎng)外，而且轉(zhuǎn)軸不在中間，左右不對(duì)稱，與那種典型的正弦交流發(fā)電機(jī)結(jié)構(gòu)有著明顯的不同，解答此題，也同樣不能直接套用現(xiàn)成的公式，只能從最基本的電磁感應(yīng)原理出發(fā)進(jìn)行分析求解．