Question

（2013?寧波二模）如圖所示，用內(nèi)壁光滑的薄壁細(xì)管彎成的“S”形軌道固定于豎直平面內(nèi)，其彎曲部分是由兩個(gè)半徑均為R的半圓平滑對(duì)接而成（圓的半徑遠(yuǎn)大于細(xì)管內(nèi)徑），軌道底端D點(diǎn)與粗糙的水平地面相切．現(xiàn)一輛玩具小車m以恒定的功率從E點(diǎn)開(kāi)始行駛，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t之后，出現(xiàn)了故障，發(fā)動(dòng)機(jī)自動(dòng)關(guān)閉，小車在水平地面繼續(xù)運(yùn)動(dòng)并進(jìn)入“S”形軌道，從軌道的最高點(diǎn)A飛出后，恰好垂直撞在固定斜面B上的C點(diǎn)，C點(diǎn)與下半圓的圓心等高．已知小車與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，ED之間的距離為x₀，斜面的傾角為30°．求：
（1）小車到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為多少？
（2）在A點(diǎn)小車對(duì)軌道的壓力是多少，方向如何？
（3）小車的恒定功率是多少？

Answer 1

分析：（1）小車離開(kāi)A后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)豎直方向的分運(yùn)動(dòng)可以求出小車的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與豎直分速度，然后在C點(diǎn)根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解可以求出小車的速度；
（2）小車在A點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出求出軌道對(duì)小車的支持力，然后由牛頓第三定律求出小車對(duì)軌道的壓力；
（3）從D到A只有重力做功，機(jī)械能守恒，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律可以求出D點(diǎn)的速度，從E到D應(yīng)用動(dòng)能定理可以求出小車的功率．

解答：解：（1）小車到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度為v_A，離開(kāi)A點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，落到C點(diǎn)時(shí)，
豎直方向上：h═3R=

1

2

gt²，
小車到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的豎直分速度：v_y=gt，
在C點(diǎn)tan30°=

vA

vy

，v=

v 2 A + v 2 y

，
解得：v=2

2gR

，v_A=

2gR

；
（2）小車在A點(diǎn)的速度v_A=

2gR

，
在A點(diǎn)，由牛頓第二定律得：mg+F=m

v 2 A

R

，
解得：F=mg，方向豎直向下，
由牛頓第三定律可知，小車對(duì)軌道的壓力F′=F=mg，豎直向上；
（3）從D到A過(guò)程，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：

1

2

mv_D²=mg?4R+

1

2

mv_A²，
小車從E到D的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
Pt-μmgx₀=

1

2

mv_D²
解得：P=

μmgx0+5mgR

t

；
答：（1）小車到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度大小為2

2gR

；
（2）在A點(diǎn)小車對(duì)軌道的壓力是mg，方向豎直向上；
（3）小車的恒定功率是

μmgx0+5mgR

t

．

點(diǎn)評(píng)：小車的運(yùn)動(dòng)過(guò)程較為復(fù)雜，分析清楚小車的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的前提與關(guān)鍵；對(duì)小車應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解、牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理即可正確解題．